Рассмотрим примеры того, как решить однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами с помощью калькулятора дифференциальных уравнений.

Для того чтобы решить линейное дифф. ур-ние с постоянными коэф. онлайн, зайдите на страницу калькулятора:

Решение дифференциальных уравнений

Рассмотрим сначала пример с однородным уравненим:

               2          
  d           d           
3*--(y(x)) + ---(y(x)) = 0
  dx           2          
             dx           

Для этого в форму нужно ввести вот такое выражение:

3*y' + y'' = 0

Вы получите такое подробное решение:

 

Дано уравнение:

::

                   2
      d           d
    3*--(y(x)) + ---(y(x)) = 0
      dx           2
                 dx

Это дифф. уравнение имеет вид:

::

    y'' + p*y' + q*y = 0,

где

::

    p = 3

::

    q = 0

Называется линейным однородным

дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решить это ур-ние не представляет особой сложности

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния

::

     2
    k  + p*k + q = 0

В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:

::

     2
    k  + 3*k = 0

- это простое квадратное ур-ние

Корни этого ур-ния:

::

    k1 = -3

::

    k2 = 0

Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,

и корни не имеют комплексный вид, то

решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:

::

               k1*x       k2*x
    y(x) = C1*e     + C2*e

Получаем окончательный ответ:

::

                    -3*x
    y(x) = C2 + C1*e

 

Далее, рассмотрим пример с неоднородным дифференциальным уравнением:

                 2                    
    d           d          /     2\  x
- 2*--(y(x)) + ---(y(x)) = \1 + x /*e 
    dx           2                    
               dx                     

Указанный пример можно ввести в форму калькулятора так:

-2*y' + y'' = (1 + x^2)*exp(x)

 

После Вы получите подробный ответ:

Дано уравнение:

::

                     2
        d           d          /     2\  x
    - 2*--(y(x)) + ---(y(x)) = \1 + x /*e
        dx           2
                   dx

Это дифф. уравнение имеет вид:

::

    y'' + p*y' + q*y = s,

где

::

    p = -2

::

    q = 0

::

         /     2\  x
    s = -\1 + x /*e

Называется линейным однородным

дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решить это ур-ние не представляет особой сложности

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния

::

     2
    k  + p*k + q = 0

В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:

::

     2
    k  - 2*k = 0

- это простое квадратное ур-ние

Корни этого ур-ния:

::

    k1 = 0

::

    k2 = 2

Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,

и корни не имеют комплексный вид, то

решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:

::

               k1*x       k2*x
    y(x) = C1*e     + C2*e

::

                    2*x
    y(x) = C1 + C2*e



Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния

Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

::

    y'' + p*y' + q*y = s

Используем метод вариации произвольной постоянной

Считаем, что C1 и C2 - это функции от x



И общим решением будет:

::

                  2*x
    y(x) = C2(x)*e    + C1(x)

где C1(x) и C2(x)

согласно методу вариации постоянных найдём из системы:

::

    d                 d
    --(C1(x))*y1(x) + --(C2(x))*y2(x) = 0
    dx                dx

::

    d         d           d         d
    --(C1(x))*--(y1(x)) + --(C2(x))*--(y2(x)) = f(x)
    dx        dx          dx        dx

где

y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,

y1(x) = 1 (C1=1, C2=0),

y2(x) = exp(2*x) (C1=0, C2=1).

А свободный член f = - s, или

::

           /     2\  x
    f(x) = \1 + x /*e

Значит, система примет вид:

::

    d          2*x   d
    --(C2(x))*e    + --(C1(x)) = 0
    dx               dx

::

    d     d           d         d / 2*x\   /     2\  x
    --(1)*--(C1(x)) + --(C2(x))*--\e   / = \1 + x /*e
    dx    dx          dx        dx

или

::

    d          2*x   d
    --(C2(x))*e    + --(C1(x)) = 0
    dx               dx

::

      d          2*x   /     2\  x
    2*--(C2(x))*e    = \1 + x /*e
      dx

Решаем эту систему:

::

                 /     2\  x
    d           -\1 + x /*e
    --(C1(x)) = -------------
    dx                2

::

                /     2\  -x
    d           \1 + x /*e
    --(C2(x)) = ------------
    dx               2

- это простые дифф. ур-ния, решаем их

::

                   /
                  |
                  |  /     2\  x
                  | -\1 + x /*e
    C1(x) = C3 +  | ------------- dx
                  |       2
                  |
                 /

::

                   /
                  |
                  | /     2\  -x
                  | \1 + x /*e
    C2(x) = C4 +  | ------------ dx
                  |      2
                  |
                 /

или

::

                 /      2      \  x
                 \-3 - x  + 2*x/*e
    C1(x) = C3 + ------------------
                         2

::

                 /      2      \  -x
                 \-3 - x  - 2*x/*e
    C2(x) = C4 + -------------------
                          2

Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в

::

                  2*x
    y(x) = C2(x)*e    + C1(x)

Получаем окончательный ответ:

::

                   x       2*x    2  x
    y(x) = C3 - 3*e  + C4*e    - x *e

где C3 и C4 есть константы