Есть два вида выражений-функций с корнями, для которых надо найти предел.

  1. Функции, содержащие корень (sqrt) в числителе или знаменателе дроби:
    •        2*x - 15 
       lim -----------
      x->oo   ________
             /  2     
           \/  x  + 1
    •       _______     _________
           \/ x + 1  - \/ 2*x - 2 
       lim -----------------------
      x->3+         x - 3
  2. Функции, имеющие разность двух корней:
    •         __________      _________
             /  2            /       2 
       lim \/  x  + 2*x  - \/  -3 + x  
      x->oo
      

Оба этих случая легко решает калькулятор пределов:

Пределы с корнями

Как ввести корень в форму?

К примеру, если вы хотите ввести разность двух корней, то укажите следующее выражение:

sqrt(x^2 + 2*x) - sqrt(-3 + x^2)

Для этого примера вы получите подробное решение:

 

Возьмём предел

::

            __________      _________
           /  2            /       2
     lim \/  x  + 2*x  - \/  -3 + x
    x->oo

Устраним неопределённость oo - oo

Домножим и разделим на

::

       _________      __________
      /       2      /  2
    \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x

тогда

::

            __________      _________
           /  2            /       2
     lim \/  x  + 2*x  - \/  -3 + x   =
    x->oo

::

         /   __________      _________\ /   _________      __________\
         |  /  2            /       2 | |  /       2      /  2       |
         \\/  x  + 2*x  - \/  -3 + x  /*\\/  -3 + x   + \/  x  + 2*x /
     lim ------------------------------------------------------------- =
    x->oo                    _________      __________
                            /       2      /  2
                          \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x

::

                      2               2
            __________       _________
           /  2             /       2
         \/  x  + 2*x   - \/  -3 + x
     lim ------------------------------ =
    x->oo    _________      __________
            /       2      /  2
          \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x

::

               2              2
              x  + 2*x + 3 - x
     lim ----------------------------
    x->oo   _________      __________ =
           /       2      /  2
         \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x

::

                   3 + 2*x
     lim ----------------------------
    x->oo   _________      __________
           /       2      /  2
         \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x



Разделим числитель и знаменатель на x:

::

                        3
                    2 + -
                        x
     lim ----------------------------
    x->oo   _________      __________ =
           /       2      /  2
         \/  -3 + x     \/  x  + 2*x
         ------------ + -------------
              x               x

::

                           3
                       2 + -
                           x
     lim ----------------------------------
    x->oo      _________         __________
              /       2         /  2        =
             /  -3 + x         /  x  + 2*x
            /   -------  +    /   --------
           /        2        /        2
         \/        x       \/        x

::

                        3
                    2 + -
                        x
     lim ---------------------------
    x->oo     ________       _______
             /     3        /     2
            /  1 - --  +   /  1 + -
           /        2    \/       x
         \/        x

Сделаем замену

::

        1
    u = -
        x

тогда

::

                        3
                    2 + -
                        x
     lim ---------------------------
    x->oo     ________       _______ =
             /     3        /     2
            /  1 - --  +   /  1 + -
           /        2    \/       x
         \/        x

::

                   2 + 3*u
     lim ---------------------------
    u->0+   __________               =
           /        2      _________
         \/  1 - 3*u   + \/ 1 + 2*u

::

                2 + 3*0
      --------------------------- = 1
    =    __________
        /        2      _________
      \/  1 - 3*0   + \/ 1 + 2*0



Получаем окончательный ответ:

::

            __________      _________
           /  2            /       2
     lim \/  x  + 2*x  - \/  -3 + x   = 1
    x->oo



Для случая, когда корень находится в числителе или знаменателе дроби, то, к примеру, введите так:

(sqrt(x + 1) - sqrt(2*x - 2))/(x - 3)

Не забудьте указать к чему стремится переменная x.

Для указанного примера Вы также получите подробное решение, но с применением правила Лопиталя.

 

Ещё раз приводим ссылку на калькулятор:

>> решение пределов функций <<