-11+4*y^2+9*x^2-18*x16*y=0 (канонический вид)

Подробнее про каноническое преобразование вы можете посмотреть по ссылке

Вы ввели

         2      2               
-11 + 4*y  + 9*x  - 18*x16*y = 0

$$9 x^{2} - 18 x_{16} y + 4 y^{2} - 11 = 0$$

Метод инвариантов

Дано ур-ние поверхности 2-порядка:
$$9 x^{2} - 18 x_{16} y + 4 y^{2} - 11 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x x_{16} + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} x_{16} y + 2 a_{24} y + a_{33} x_{16}^{2} + 2 a_{34} x_{16} + a_{44} = 0$$
где
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 0$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = -9$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
$$a_{34} = 0$$
$$a_{44} = -11$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$

     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$

     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

подставляем коэффициенты
$$I_{1} = 13$$

     |9  0|   |4   -9|   |9  0|
I2 = |    | + |      | + |    |
     |0  4|   |-9  0 |   |0  0|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & 0 & 0\\0 & 4 & -9\\0 & -9 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}9 & 0 & 0 & 0\\0 & 4 & -9 & 0\\0 & -9 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -11\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 9 & 0 & 0\\0 & - \lambda + 4 & -9\\0 & -9 & - \lambda\end{matrix}\right|$$

     |9   0 |   |4   0 |   |0   0 |
K2 = |      | + |      | + |      |
     |0  -11|   |0  -11|   |0  -11|

     |9  0   0 |   |4   -9   0 |   |9  0   0 |
     |         |   |           |   |         |
K3 = |0  4   0 | + |-9  0    0 | + |0  0   0 |
     |         |   |           |   |         |
     |0  0  -11|   |0   0   -11|   |0  0  -11|

$$I_{1} = 13$$
$$I_{2} = -45$$
$$I_{3} = -729$$
$$I_{4} = 8019$$
$$I{\left (\lambda \right )} = - \lambda^{3} + 13 \lambda^{2} + 45 \lambda - 729$$
$$K_{2} = -143$$
$$K_{3} = 495$$
Т.к.
$$I_{3} \neq 0$$
то по признаку типов поверхностей:
надо
Составляем характеристическое уравнение для нашей поверхности:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
или
$$\lambda^{3} - 13 \lambda^{2} - 45 \lambda + 729 = 0$$
$$\lambda_{1} = 9$$
$$\lambda_{2} = 2 + \sqrt{85}$$
$$\lambda_{3} = - \sqrt{85} + 2$$
тогда канонический вид уравнения будет
$$\tilde x16^{2} \lambda_{3} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$9 \tilde x^{2} + \tilde x16^{2} \left(- \sqrt{85} + 2\right) + \tilde y^{2} \left(2 + \sqrt{85}\right) - 11 = 0$$
$$- \tilde x16^{2} \left(- \frac{2}{11} + \frac{\sqrt{85}}{11}\right) + \frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{3}{11} \sqrt{11}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{11} \sqrt{11} \sqrt{2 + \sqrt{85}}}\right)^{2}} = 1$$
это уравнение для типа односторонний гиперболоид
- приведено к каноническому виду