Привести к каноническому виду


Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
         2      2               
-11 + 4*y  + 9*x  - 18*x16*y = 0
$$9 x^{2} - 18 x_{16} y + 4 y^{2} - 11 = 0$$
Метод инвариантов
[TeX]
Дано ур-ние поверхности 2-порядка:
$$9 x^{2} - 18 x_{16} y + 4 y^{2} - 11 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x x_{16} + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} x_{16} y + 2 a_{24} y + a_{33} x_{16}^{2} + 2 a_{34} x_{16} + a_{44} = 0$$
где
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 0$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = -9$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
$$a_{34} = 0$$
$$a_{44} = -11$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

подставляем коэффициенты
$$I_{1} = 13$$
     |9  0|   |4   -9|   |9  0|
I2 = |    | + |      | + |    |
     |0  4|   |-9  0 |   |0  0|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & 0 & 0\\0 & 4 & -9\\0 & -9 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}9 & 0 & 0 & 0\\0 & 4 & -9 & 0\\0 & -9 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -11\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 9 & 0 & 0\\0 & - \lambda + 4 & -9\\0 & -9 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |9   0 |   |4   0 |   |0   0 |
K2 = |      | + |      | + |      |
     |0  -11|   |0  -11|   |0  -11|

     |9  0   0 |   |4   -9   0 |   |9  0   0 |
     |         |   |           |   |         |
K3 = |0  4   0 | + |-9  0    0 | + |0  0   0 |
     |         |   |           |   |         |
     |0  0  -11|   |0   0   -11|   |0  0  -11|

$$I_{1} = 13$$
$$I_{2} = -45$$
$$I_{3} = -729$$
$$I_{4} = 8019$$
$$I{\left (\lambda \right )} = - \lambda^{3} + 13 \lambda^{2} + 45 \lambda - 729$$
$$K_{2} = -143$$
$$K_{3} = 495$$
Т.к.
$$I_{3} \neq 0$$
то по признаку типов поверхностей:
надо
Составляем характеристическое уравнение для нашей поверхности:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
или
$$\lambda^{3} - 13 \lambda^{2} - 45 \lambda + 729 = 0$$
$$\lambda_{1} = 9$$
$$\lambda_{2} = 2 + \sqrt{85}$$
$$\lambda_{3} = - \sqrt{85} + 2$$
тогда канонический вид уравнения будет
$$\tilde x16^{2} \lambda_{3} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$9 \tilde x^{2} + \tilde x16^{2} \left(- \sqrt{85} + 2\right) + \tilde y^{2} \left(2 + \sqrt{85}\right) - 11 = 0$$
$$- \tilde x16^{2} \left(- \frac{2}{11} + \frac{\sqrt{85}}{11}\right) + \frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{3}{11} \sqrt{11}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{11} \sqrt{11} \sqrt{2 + \sqrt{85}}}\right)^{2}} = 1$$
это уравнение для типа односторонний гиперболоид
- приведено к каноническому виду

Примеры

УравнениеКанонический видТипИзмерение
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0x^2=1Две параллельные прямыеЛиния
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0y^2=4*sqrt(2)*xПараболаЛиния
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0Вырожденный эллипсЛиния
5*x^2+ 4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1ЭллипсЛиния
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1Мнимый эллипсоидПоверхность
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0x^2/1^2+y^2-z^2=-1Двухсторонний гиперболоидПоверхность
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0Эллиптический параболоидПоверхность
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0x^2/=1/14Две параллельные плоскостиПоверхность