Привести к каноническому виду


Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
                 2              2             
-50 - 180*y + 9*y  + 10*x + 16*x  + 24*x*y = 0
$$16 x^{2} + 24 x y + 10 x + 9 y^{2} - 180 y - 50 = 0$$
Подробное решение
[TeX]
Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$16 x^{2} + 24 x y + 10 x + 9 y^{2} - 180 y - 50 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = 16$$
$$a_{12} = 12$$
$$a_{13} = 5$$
$$a_{22} = 9$$
$$a_{23} = -90$$
$$a_{33} = -50$$
Вычислим определитель
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
или, подставляем
$$\Delta = \left|\begin{matrix}16 & 12\\12 & 9\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Т.к.
$$\Delta$$
равен 0, то
Делаем поворот системы полученной координат на угол φ
$$x' = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} - \tilde y \sin{\left (\phi \right )}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )}$$
φ - определяется из формулы
$$\cot{\left (2 \phi \right )} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
подставляем коэффициенты
$$\cot{\left (2 \phi \right )} = \frac{7}{24}$$
тогда
$$\phi = \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (\frac{7}{24} \right )}$$
$$\sin{\left (2 \phi \right )} = \frac{24}{25}$$
$$\cos{\left (2 \phi \right )} = \frac{7}{25}$$
$$\cos{\left (\phi \right )} = \sqrt{\frac{1}{2} \cos{\left (2 \phi \right )} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left (\phi \right )} = \sqrt{- \cos^{2}{\left (\phi \right )} + 1}$$
$$\cos{\left (\phi \right )} = \frac{4}{5}$$
$$\sin{\left (\phi \right )} = \frac{3}{5}$$
подставляем коэффициенты
$$x' = \frac{4}{5} \tilde x - \frac{3}{5} \tilde y$$
$$y' = \frac{3}{5} \tilde x + \frac{4}{5} \tilde y$$
тогда ур-ние превратится из
$$16 x'^{2} + 24 x' y' + 10 x' + 9 y'^{2} - 180 y' - 50 = 0$$
в
$$9 \left(\frac{3}{5} \tilde x + \frac{4}{5} \tilde y\right)^{2} + 24 \left(\frac{3}{5} \tilde x + \frac{4}{5} \tilde y\right) \left(\frac{4}{5} \tilde x - \frac{3}{5} \tilde y\right) - 180 \left(\frac{3}{5} \tilde x + \frac{4}{5} \tilde y\right) + 16 \left(\frac{4}{5} \tilde x - \frac{3}{5} \tilde y\right)^{2} + 10 \left(\frac{4}{5} \tilde x - \frac{3}{5} \tilde y\right) - 50 = 0$$
упрощаем
$$25 \tilde x^{2} - 100 \tilde x - 150 \tilde y - 50 = 0$$
$$\left(5 \tilde x - 10\right)^{2} = 150 \tilde y + 150$$
$$\left(\tilde x - 2\right)^{2} = 6 \tilde y + 6$$
$$\tilde x'^{2} = 6 \tilde y + 6$$
Данное уравнение является параболой
- приведено к каноническому виду
Центр канонической системы координат в Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} - \tilde y \sin{\left (\phi \right )}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Центр канонической системы координат в точке O
(0, 0)

Базис канонической системы координат
$$\vec e_1 = \left ( \frac{4}{5}, \quad \frac{3}{5}\right )$$
$$\vec e_2 = \left ( - \frac{3}{5}, \quad \frac{4}{5}\right )$$
Метод инвариантов
[TeX]
Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$16 x^{2} + 24 x y + 10 x + 9 y^{2} - 180 y - 50 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = 16$$
$$a_{12} = 12$$
$$a_{13} = 5$$
$$a_{22} = 9$$
$$a_{23} = -90$$
$$a_{33} = -50$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

подставляем коэффициенты
$$I_{1} = 25$$
     |16  12|
I2 = |      |
     |12  9 |

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}16 & 12 & 5\\12 & 9 & -90\\5 & -90 & -50\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 16 & 12\\12 & - \lambda + 9\end{matrix}\right|$$
     |16   5 |   | 9   -90|
K2 = |       | + |        |
     |5   -50|   |-90  -50|

$$I_{1} = 25$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -140625$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} - 25 \lambda$$
$$K_{2} = -9375$$
Т.к.
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
то по признаку типов линий:
данное уравнение имеет тип : парабола
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
или
$$150 \tilde x + 25 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 6 \tilde x$$
- приведено к каноническому виду

Примеры

УравнениеКанонический видТипИзмерение
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0x^2=1Две параллельные прямыеЛиния
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0y^2=4*sqrt(2)*xПараболаЛиния
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0Вырожденный эллипсЛиния
5*x^2+ 4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1ЭллипсЛиния
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1Мнимый эллипсоидПоверхность
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0x^2/1^2+y^2-z^2=-1Двухсторонний гиперболоидПоверхность
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0Эллиптический параболоидПоверхность
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0x^2/=1/14Две параллельные плоскостиПоверхность