Привести к каноническому виду


Решение

Вы ввели
[LaTeX]
     2                
4 + y  - 5*x + 6*y = 0
$$- 5 x + y^{2} + 6 y + 4 = 0$$
Подробное решение
[LaTeX]
Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$- 5 x + y^{2} + 6 y + 4 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = - \frac{5}{2}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 3$$
$$a_{33} = 4$$
Вычислим определитель
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
или, подставляем
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Т.к.
$$\Delta$$
равен 0, то
$$\left(\tilde y + 3\right)^{2} = 5 \tilde x + 5$$
$$\tilde y'^{2} = 5 \tilde x + 5$$
Данное уравнение является параболой
- приведено к каноническому виду
Центр канонической системы координат в Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} - \tilde y \sin{\left (\phi \right )}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Центр канонической системы координат в точке O
(0, 0)

Базис канонической системы координат
$$\vec e_1 = \left ( 1, \quad 0\right )$$
$$\vec e_2 = \left ( 0, \quad 1\right )$$
Метод инвариантов
[LaTeX]
Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$- 5 x + y^{2} + 6 y + 4 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = - \frac{5}{2}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 3$$
$$a_{33} = 4$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

подставляем коэффициенты
$$I_{1} = 1$$
     |0  0|
I2 = |    |
     |0  1|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{2}\\0 & 1 & 3\\- \frac{5}{2} & 3 & 4\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 0\\0 & - \lambda + 1\end{matrix}\right|$$
     | 0    -5/2|   |1  3|
K2 = |          | + |    |
     |-5/2   4  |   |3  4|

$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = - \frac{25}{4}$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} - \lambda$$
$$K_{2} = - \frac{45}{4}$$
Т.к.
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
то по признаку типов линий:
данное уравнение имеет тип : парабола
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
или
$$5 \tilde x + \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 5 \tilde x$$
- приведено к каноническому виду

Примеры

УравнениеКанонический видТипИзмерение
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0x^2=1Две параллельные прямыеЛиния
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0y^2=4*sqrt(2)*xПараболаЛиния
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0Вырожденный эллипсЛиния
5*x^2+ 4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1ЭллипсЛиния
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1Мнимый эллипсоидПоверхность
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0x^2/1^2+y^2-z^2=-1Двухсторонний гиперболоидПоверхность
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0Эллиптический параболоидПоверхность
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0x^2/=1/14Две параллельные плоскостиПоверхность