Привести к каноническому виду


Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
      2                  2            
-7 + x  - 3*y + 4*x + 4*y  - 4*x*y = 0
$$x^{2} - 4 x y + 4 x + 4 y^{2} - 3 y - 7 = 0$$
Подробное решение
[TeX]
Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$x^{2} - 4 x y + 4 x + 4 y^{2} - 3 y - 7 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = 2$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = - \frac{3}{2}$$
$$a_{33} = -7$$
Вычислим определитель
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
или, подставляем
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & -2\\-2 & 4\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Т.к.
$$\Delta$$
равен 0, то
Делаем поворот системы полученной координат на угол φ
$$x' = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} - \tilde y \sin{\left (\phi \right )}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )}$$
φ - определяется из формулы
$$\cot{\left (2 \phi \right )} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
подставляем коэффициенты
$$\cot{\left (2 \phi \right )} = \frac{3}{4}$$
тогда
$$\phi = \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$
$$\sin{\left (2 \phi \right )} = \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left (2 \phi \right )} = \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left (\phi \right )} = \sqrt{\frac{1}{2} \cos{\left (2 \phi \right )} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left (\phi \right )} = \sqrt{- \cos^{2}{\left (\phi \right )} + 1}$$
$$\cos{\left (\phi \right )} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$\sin{\left (\phi \right )} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
подставляем коэффициенты
$$x' = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x - \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}$$
$$y' = \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y$$
тогда ур-ние превратится из
$$x'^{2} - 4 x' y' + 4 x' + 4 y'^{2} - 3 y' - 7 = 0$$
в
$$4 \left(\frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right)^{2} - 4 \left(\frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right) \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x - \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right) - 3 \left(\frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right) + \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x - \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right)^{2} + 4 \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x - \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right) - 7 = 0$$
упрощаем
$$\sqrt{5} \tilde x + 5 \tilde y^{2} - 2 \sqrt{5} \tilde y - 7 = 0$$
$$\left(\sqrt{5} \tilde y - 1\right)^{2} = - \sqrt{5} \tilde x + 8$$
$$\left(\tilde y - \frac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2} = - \frac{\sqrt{5}}{5} \left(\tilde x - \frac{8 \sqrt{5}}{5}\right)$$
$$\tilde y'^{2} = - \frac{\tilde x'}{5} \sqrt{5}$$
Данное уравнение является параболой
- приведено к каноническому виду
Центр канонической системы координат в Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} - \tilde y \sin{\left (\phi \right )}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )}$$
           ___       ___
       2*\/ 5      \/ 5 
x0 = 0*------- - 0*-----
          5          5  

$$y_{0} = 0 \frac{\sqrt{5}}{5} + 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Центр канонической системы координат в точке O
(0, 0)

Базис канонической системы координат
$$\vec e_1 = \left ( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \quad \frac{\sqrt{5}}{5}\right )$$
$$\vec e_2 = \left ( - \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right )$$
Метод инвариантов
[TeX]
Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$x^{2} - 4 x y + 4 x + 4 y^{2} - 3 y - 7 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = 2$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = - \frac{3}{2}$$
$$a_{33} = -7$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

подставляем коэффициенты
$$I_{1} = 5$$
     |1   -2|
I2 = |      |
     |-2  4 |

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & -2 & 2\\-2 & 4 & - \frac{3}{2}\\2 & - \frac{3}{2} & -7\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 1 & -2\\-2 & - \lambda + 4\end{matrix}\right|$$
     |1  2 |   | 4    -3/2|
K2 = |     | + |          |
     |2  -7|   |-3/2   -7 |

$$I_{1} = 5$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = - \frac{25}{4}$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} - 5 \lambda$$
$$K_{2} = - \frac{165}{4}$$
Т.к.
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
то по признаку типов линий:
данное уравнение имеет тип : парабола
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
или
$$\sqrt{5} \tilde x + 5 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = \frac{\sqrt{5}}{5} \tilde x$$
- приведено к каноническому виду

Примеры

УравнениеКанонический видТипИзмерение
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0x^2=1Две параллельные прямыеЛиния
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0y^2=4*sqrt(2)*xПараболаЛиния
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0Вырожденный эллипсЛиния
5*x^2+ 4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1ЭллипсЛиния
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1Мнимый эллипсоидПоверхность
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0x^2/1^2+y^2-z^2=-1Двухсторонний гиперболоидПоверхность
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0Эллиптический параболоидПоверхность
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0x^2/=1/14Две параллельные плоскостиПоверхность