Привести к каноническому виду


Решение

Вы ввели
[LaTeX]
     2    2                        
1 - x  - y  - 4*y + 2*x + 4*x*y = 0
$$- x^{2} + 4 x y + 2 x - y^{2} - 4 y + 1 = 0$$
Подробное решение
[LaTeX]
Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$- x^{2} + 4 x y + 2 x - y^{2} - 4 y + 1 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = -1$$
$$a_{12} = 2$$
$$a_{13} = 1$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = -2$$
$$a_{33} = 1$$
Вычислим определитель
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
или, подставляем
$$\Delta = \left|\begin{matrix}-1 & 2\\2 & -1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -3$$
Т.к.
$$\Delta$$
не равен 0, то
находим центр канонической системы координат. Для этого решаем систему уравнений
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
подставляем коэффициенты
$$- x_{0} + 2 y_{0} + 1 = 0$$
$$2 x_{0} - y_{0} - 2 = 0$$
тогда
$$x_{0} = 1$$
$$y_{0} = 0$$
Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
где
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
или
$$a'_{33} = x_{0} - 2 y_{0} + 1$$
$$a'_{33} = 2$$
тогда ур-ние превратится в
$$- x'^{2} + 4 x' y' - y'^{2} + 2 = 0$$
Делаем поворот системы полученной координат на угол φ
$$x' = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} - \tilde y \sin{\left (\phi \right )}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )}$$
φ - определяется из формулы
$$\cot{\left (2 \phi \right )} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
подставляем коэффициенты
$$\cot{\left (2 \phi \right )} = 0$$
тогда
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left (2 \phi \right )} = 1$$
$$\cos{\left (2 \phi \right )} = 0$$
$$\cos{\left (\phi \right )} = \sqrt{\frac{1}{2} \cos{\left (2 \phi \right )} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left (\phi \right )} = \sqrt{- \cos^{2}{\left (\phi \right )} + 1}$$
$$\cos{\left (\phi \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left (\phi \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
подставляем коэффициенты
$$x' = \frac{\tilde x}{2} \sqrt{2} - \frac{\tilde y}{2} \sqrt{2}$$
$$y' = \frac{\tilde x}{2} \sqrt{2} + \frac{\tilde y}{2} \sqrt{2}$$
тогда ур-ние превратится из
$$- x'^{2} + 4 x' y' - y'^{2} + 2 = 0$$
в
$$- \left(\frac{\tilde x}{2} \sqrt{2} - \frac{\tilde y}{2} \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \left(\frac{\tilde x}{2} \sqrt{2} - \frac{\tilde y}{2} \sqrt{2}\right) \left(\frac{\tilde x}{2} \sqrt{2} + \frac{\tilde y}{2} \sqrt{2}\right) - \left(\frac{\tilde x}{2} \sqrt{2} + \frac{\tilde y}{2} \sqrt{2}\right)^{2} + 2 = 0$$
упрощаем
$$\tilde x^{2} - 3 \tilde y^{2} + 2 = 0$$
Данное уравнение является гиперболой
$$\frac{\tilde x^{2}}{2} - \frac{3}{2} \tilde y^{2} = -1$$
- приведено к каноническому виду
Центр канонической системы координат в точке O
(1, 0)

Базис канонической системы координат
$$\vec e_1 = \left ( \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{\sqrt{2}}{2}\right )$$
$$\vec e_2 = \left ( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{\sqrt{2}}{2}\right )$$
Метод инвариантов
[LaTeX]
Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$- x^{2} + 4 x y + 2 x - y^{2} - 4 y + 1 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = -1$$
$$a_{12} = 2$$
$$a_{13} = 1$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = -2$$
$$a_{33} = 1$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

подставляем коэффициенты
$$I_{1} = -2$$
     |-1  2 |
I2 = |      |
     |2   -1|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-1 & 2 & 1\\2 & -1 & -2\\1 & -2 & 1\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 1 & 2\\2 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
     |-1  1|   |-1  -2|
K2 = |     | + |      |
     |1   1|   |-2  1 |

$$I_{1} = -2$$
$$I_{2} = -3$$
$$I_{3} = -6$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} + 2 \lambda - 3$$
$$K_{2} = -7$$
Т.к.
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
то по признаку типов линий:
данное уравнение имеет тип : гипербола
Составляем характеристическое уравнение для нашей линии:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
или
$$\lambda^{2} + 2 \lambda - 3 = 0$$
$$\lambda_{1} = 1$$
$$\lambda_{2} = -3$$
тогда канонический вид уравнения будет
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
или
$$\tilde x^{2} - 3 \tilde y^{2} + 2 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{2} - \frac{3}{2} \tilde y^{2} = -1$$
- приведено к каноническому виду

Примеры

УравнениеКанонический видТипИзмерение
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0x^2=1Две параллельные прямыеЛиния
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0y^2=4*sqrt(2)*xПараболаЛиния
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0Вырожденный эллипсЛиния
5*x^2+ 4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1ЭллипсЛиния
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1Мнимый эллипсоидПоверхность
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0x^2/1^2+y^2-z^2=-1Двухсторонний гиперболоидПоверхность
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0Эллиптический параболоидПоверхность
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0x^2/=1/14Две параллельные плоскостиПоверхность