Привести к каноническому виду


Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
     2                  2      2                                   
2 - y  - 2*y - 2*z + 2*x  + 2*z  + 10*x - 2*x*z + 4*x*y + 4*y*z = 0
$$2 x^{2} + 4 x y - 2 x z + 10 x - y^{2} + 4 y z - 2 y + 2 z^{2} - 2 z + 2 = 0$$
Метод инвариантов
[TeX]
Дано ур-ние поверхности 2-порядка:
$$2 x^{2} + 4 x y - 2 x z + 10 x - y^{2} + 4 y z - 2 y + 2 z^{2} - 2 z + 2 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
где
$$a_{11} = 2$$
$$a_{12} = 2$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{14} = 5$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = 2$$
$$a_{24} = -1$$
$$a_{33} = 2$$
$$a_{34} = -1$$
$$a_{44} = 2$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

подставляем коэффициенты
$$I_{1} = 3$$
     |2  2 |   |-1  2|   |2   -1|
I2 = |     | + |     | + |      |
     |2  -1|   |2   2|   |-1  2 |

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}2 & 2 & -1\\2 & -1 & 2\\-1 & 2 & 2\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}2 & 2 & -1 & 5\\2 & -1 & 2 & -1\\-1 & 2 & 2 & -1\\5 & -1 & -1 & 2\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 2 & 2 & -1\\2 & - \lambda - 1 & 2\\-1 & 2 & - \lambda + 2\end{matrix}\right|$$
     |2  5|   |-1  -1|   |2   -1|
K2 = |    | + |      | + |      |
     |5  2|   |-1  2 |   |-1  2 |

     |2  2   5 |   |-1  2   -1|   |2   -1  5 |
     |         |   |          |   |          |
K3 = |2  -1  -1| + |2   2   -1| + |-1  2   -1|
     |         |   |          |   |          |
     |5  -1  2 |   |-1  -1  2 |   |5   -1  2 |

$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = -9$$
$$I_{3} = -27$$
$$I_{4} = 81$$
$$I{\left (\lambda \right )} = - \lambda^{3} + 3 \lambda^{2} + 9 \lambda - 27$$
$$K_{2} = -21$$
$$K_{3} = -54$$
Т.к.
$$I_{3} \neq 0$$
то по признаку типов поверхностей:
надо
Составляем характеристическое уравнение для нашей поверхности:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
или
$$\lambda^{3} - 3 \lambda^{2} - 9 \lambda + 27 = 0$$
$$\lambda_{1} = 3$$
$$\lambda_{2} = 3$$
$$\lambda_{3} = -3$$
тогда канонический вид уравнения будет
$$\tilde z^{2} \lambda_{3} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$3 \tilde x^{2} + 3 \tilde y^{2} - 3 \tilde z^{2} - 3 = 0$$
        2            2            2     
\tilde x     \tilde y     \tilde z      
---------- + ---------- - ---------- = 1
         2            2            2    
//  ___\\    //  ___\\    //  ___\\     
||\/ 3 ||    ||\/ 3 ||    ||\/ 3 ||     
||-----||    ||-----||    ||-----||     
|\  3  /|    |\  3  /|    |\  3  /|     
|-------|    |-------|    |-------|     
|/  ___\|    |/  ___\|    |/  ___\|     
||\/ 3 ||    ||\/ 3 ||    ||\/ 3 ||     
||-----||    ||-----||    ||-----||     
\\  3  //    \\  3  //    \\  3  //     

это уравнение для типа односторонний гиперболоид
- приведено к каноническому виду

Примеры

УравнениеКанонический видТипИзмерение
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0x^2=1Две параллельные прямыеЛиния
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0y^2=4*sqrt(2)*xПараболаЛиния
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0Вырожденный эллипсЛиния
5*x^2+ 4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1ЭллипсЛиния
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1Мнимый эллипсоидПоверхность
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0x^2/1^2+y^2-z^2=-1Двухсторонний гиперболоидПоверхность
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0Эллиптический параболоидПоверхность
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0x^2/=1/14Две параллельные плоскостиПоверхность