4*x-3*y+1=0 7*x+2*y-22=0

Вы ввели

4*x - 3*y + 1 = 0

$$4 x - 3 y + 1 = 0$$

7*x + 2*y - 22 = 0

$$7 x + 2 y - 22 = 0$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$4 x - 3 y + 1 = 0$$
$$7 x + 2 y - 22 = 0$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$4 x - 3 y + 1 = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x - 3 y + 3 y + 1 = - -1 \cdot 3 y$$
$$4 x + 1 = 3 y$$
Перенесем свободное слагаемое 1 из левой части в правую со сменой знака
$$4 x = 3 y - 1$$
$$4 x = 3 y - 1$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(3 y - 1\right)$$
$$x = \frac{3 y}{4} - \frac{1}{4}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$7 x + 2 y - 22 = 0$$
Получим:
$$2 y + 7 \left(\frac{3 y}{4} - \frac{1}{4}\right) - 22 = 0$$
$$\frac{29 y}{4} - \frac{95}{4} = 0$$
Перенесем свободное слагаемое -95/4 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{29 y}{4} = \frac{95}{4}$$
$$\frac{29 y}{4} = \frac{95}{4}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{29}{4} y}{\frac{29}{4}} = \frac{95}{29}$$
$$y = \frac{95}{29}$$
Т.к.
$$x = \frac{3 y}{4} - \frac{1}{4}$$
то
$$x = - \frac{1}{4} + \frac{285}{116}$$
$$x = \frac{64}{29}$$

Ответ:
$$x = \frac{64}{29}$$
$$y = \frac{95}{29}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = \frac{64}{29}$$
=
$$\frac{64}{29}$$
=

2.20689655172414

$$y_{1} = \frac{95}{29}$$
=
$$\frac{95}{29}$$
=

3.27586206896552

Метод Крамера

$$4 x - 3 y + 1 = 0$$
$$7 x + 2 y - 22 = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 3 y = -1$$
$$7 x + 2 y = 22$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - 3 x_{2}\\7 x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\22\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -3\\7 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 29$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{29} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & -3\\22 & 2\end{matrix}\right] \right )} = \frac{64}{29}$$
$$x_{2} = \frac{1}{29} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -1\\7 & 22\end{matrix}\right] \right )} = \frac{95}{29}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$4 x - 3 y + 1 = 0$$
$$7 x + 2 y - 22 = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 3 y = -1$$
$$7 x + 2 y = 22$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & -3 & -1\\7 & 2 & 22\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & -3 & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 - - \frac{21}{4} & - \frac{-7}{4} + 22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{29}{4} & \frac{95}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -3 & -1\\0 & \frac{29}{4} & \frac{95}{4}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\\frac{29}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{29}{4} & \frac{95}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -1 - - \frac{285}{29}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & \frac{256}{29}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & \frac{256}{29}\\0 & \frac{29}{4} & \frac{95}{4}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - \frac{256}{29} = 0$$
$$\frac{29 x_{2}}{4} - \frac{95}{4} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{64}{29}$$
$$x_{2} = \frac{95}{29}$$

Численный ответ

x1 = 2.206896551724138
y1 = 3.275862068965517