4*x+y-3*z=9 x+y-z=-2 8*x+3*y-6*z=12

Вы ввели

4*x + y - 3*z = 9

$$- 3 z + 4 x + y = 9$$

x + y - z = -2

$$- z + x + y = -2$$

8*x + 3*y - 6*z = 12

$$- 6 z + 8 x + 3 y = 12$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$z_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

$$y_{1} = -6$$
=
$$-6$$
=

-6

Метод Крамера

$$- 3 z + 4 x + y = 9$$
$$- z + x + y = -2$$
$$- 6 z + 8 x + 3 y = 12$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x + y - 3 z = 9$$
$$x + y - z = -2$$
$$8 x + 3 y - 6 z = 12$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 3 x_{3} + 4 x_{1} + x_{2}\\- x_{3} + x_{1} + x_{2}\\- 6 x_{3} + 8 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}9\\-2\\12\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 1 & -3\\1 & 1 & -1\\8 & 3 & -6\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}9 & 1 & -3\\-2 & 1 & -1\\12 & 3 & -6\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 9 & -3\\1 & -2 & -1\\8 & 12 & -6\end{matrix}\right] \right )} = -6$$
$$x_{3} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 1 & 9\\1 & 1 & -2\\8 & 3 & 12\end{matrix}\right] \right )} = -1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$- 3 z + 4 x + y = 9$$
$$- z + x + y = -2$$
$$- 6 z + 8 x + 3 y = 12$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x + y - 3 z = 9$$
$$x + y - z = -2$$
$$8 x + 3 y - 6 z = 12$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & -3 & 9\\1 & 1 & -1 & -2\\8 & 3 & -6 & 12\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\1\\8\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & -3 & 9\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{4} + 1 & -1 - - \frac{3}{4} & - \frac{9}{4} - 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} & - \frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & -3 & 9\\0 & \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} & - \frac{17}{4}\\8 & 3 & -6 & 12\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & -6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & -6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & -3 & 9\\0 & \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} & - \frac{17}{4}\\0 & 1 & 0 & -6\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\\frac{3}{4}\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & -6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -3 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & -3 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -3 & 15\\0 & \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} & - \frac{17}{4}\\0 & 1 & 0 & -6\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} & - \frac{17}{4} - - \frac{9}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -3 & 15\\0 & 0 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\0 & 1 & 0 & -6\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\- \frac{1}{4}\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & 12\\0 & 0 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\0 & 1 & 0 & -6\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - 12 = 0$$
$$- \frac{x_{3}}{4} - \frac{1}{4} = 0$$
$$x_{2} + 6 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{2} = -6$$

Численный ответ

x1 = 3.00000000000000
y1 = -6.00000000000000
z1 = -1.00000000000000