-5*x+y+z=0 x-6*y+z=0 x+y-7*z=0

Вы ввели

-5*x + y + z = 0

$$z + - 5 x + y = 0$$

x - 6*y + z = 0

$$z + x - 6 y = 0$$

x + y - 7*z = 0

$$- 7 z + x + y = 0$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

$$z_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

Метод Крамера

$$z + - 5 x + y = 0$$
$$z + x - 6 y = 0$$
$$- 7 z + x + y = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 5 x + y + z = 0$$
$$x - 6 y + z = 0$$
$$x + y - 7 z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{3} + - 5 x_{1} + x_{2}\\x_{3} + x_{1} - 6 x_{2}\\- 7 x_{3} + x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-5 & 1 & 1\\1 & -6 & 1\\1 & 1 & -7\end{matrix}\right] \right )} = -190$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{190} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1\\0 & -6 & 1\\0 & 1 & -7\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{190} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-5 & 0 & 1\\1 & 0 & 1\\1 & 0 & -7\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{1}{190} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-5 & 1 & 0\\1 & -6 & 0\\1 & 1 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 0$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$z + - 5 x + y = 0$$
$$z + x - 6 y = 0$$
$$- 7 z + x + y = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 5 x + y + z = 0$$
$$x - 6 y + z = 0$$
$$x + y - 7 z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-5 & 1 & 1 & 0\\1 & -6 & 1 & 0\\1 & 1 & -7 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-5\\1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-5 & 1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -6 - - \frac{1}{5} & - \frac{-1}{5} + 1 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{29}{5} & \frac{6}{5} & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-5 & 1 & 1 & 0\\0 & - \frac{29}{5} & \frac{6}{5} & 0\\1 & 1 & -7 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-1}{5} + 1 & -7 - - \frac{1}{5} & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{6}{5} & - \frac{34}{5} & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-5 & 1 & 1 & 0\\0 & - \frac{29}{5} & \frac{6}{5} & 0\\0 & \frac{6}{5} & - \frac{34}{5} & 0\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{29}{5}\\\frac{6}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{29}{5} & \frac{6}{5} & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-5 & 0 & - \frac{-6}{29} + 1 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-5 & 0 & \frac{35}{29} & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-5 & 0 & \frac{35}{29} & 0\\0 & - \frac{29}{5} & \frac{6}{5} & 0\\0 & \frac{6}{5} & - \frac{34}{5} & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{6}{5} + \frac{6}{5} & - \frac{34}{5} - - \frac{36}{145} & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{190}{29} & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-5 & 0 & \frac{35}{29} & 0\\0 & - \frac{29}{5} & \frac{6}{5} & 0\\0 & 0 & - \frac{190}{29} & 0\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{35}{29}\\\frac{6}{5}\\- \frac{190}{29}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{190}{29} & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-5 & 0 & - \frac{35}{29} + \frac{35}{29} & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-5 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-5 & 0 & 0 & 0\\0 & - \frac{29}{5} & \frac{6}{5} & 0\\0 & 0 & - \frac{190}{29} & 0\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{29}{5} & - \frac{6}{5} + \frac{6}{5} & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{29}{5} & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-5 & 0 & 0 & 0\\0 & - \frac{29}{5} & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{190}{29} & 0\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 5 x_{1} = 0$$
$$- \frac{29 x_{2}}{5} = 0$$
$$- \frac{190 x_{3}}{29} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 0$$

Численный ответ

x1 = 0.0
y1 = 1.033975765691285e-25
z1 = -2.067951531382569e-25

x2 = 0.0
y2 = 2.067951531382569e-25
z2 = 0.0

x3 = 0.0
y3 = 0.0
z3 = 0.0

x4 = 0.0
y4 = -1.033975765691285e-25
z4 = -2.584939414228211e-26

x5 = 0.0
y5 = -1.033975765691285e-25
z5 = 0.0

x6 = 0.0
y6 = -2.584939414228211e-26
z6 = -2.584939414228211e-26

x7 = 0.0
y7 = 1.033975765691285e-25
z7 = -5.169878828456423e-26

x8 = 0.0
y8 = -5.169878828456423e-26
z8 = 0.0

x9 = 0.0
y9 = -1.033975765691285e-25
z9 = -1.033975765691285e-25

x10 = 0.0
y10 = 5.169878828456423e-26
z10 = 0.0

x11 = 0.0
y11 = 1.033975765691285e-25
z11 = 0.0

x12 = 0.0
y12 = 0.0
z12 = -5.169878828456423e-26