5*x-2*y=1 -7*x+2*y=-3

Вы ввели

5*x - 2*y = 1

$$5 x - 2 y = 1$$

-7*x + 2*y = -3

$$- 7 x + 2 y = -3$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$5 x - 2 y = 1$$
$$- 7 x + 2 y = -3$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$5 x - 2 y = 1$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x - 2 y + 2 y = - -1 \cdot 2 y + 1$$
$$5 x = 2 y + 1$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(2 y + 1\right)$$
$$x = \frac{2 y}{5} + \frac{1}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 7 x + 2 y = -3$$
Получим:
$$2 y - 7 \left(\frac{2 y}{5} + \frac{1}{5}\right) = -3$$
$$- \frac{4 y}{5} - \frac{7}{5} = -3$$
Перенесем свободное слагаемое -7/5 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{4 y}{5} = - \frac{8}{5}$$
$$- \frac{4 y}{5} = - \frac{8}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{4}{5} y}{- \frac{4}{5}} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = \frac{2 y}{5} + \frac{1}{5}$$
то
$$x = \frac{1}{5} + \frac{4}{5}$$
$$x = 1$$

Ответ:
$$x = 1$$
$$y = 2$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

$$5 x - 2 y = 1$$
$$- 7 x + 2 y = -3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 2 y = 1$$
$$- 7 x + 2 y = -3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} - 2 x_{2}\\- 7 x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -2\\-7 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -2\\-3 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 1\\-7 & -3\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$5 x - 2 y = 1$$
$$- 7 x + 2 y = -3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 2 y = 1$$
$$- 7 x + 2 y = -3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & -2 & 1\\-7 & 2 & -3\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & -2 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{14}{5} + 2 & -3 - - \frac{7}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{4}{5} & - \frac{8}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & -2 & 1\\0 & - \frac{4}{5} & - \frac{8}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\- \frac{4}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{4}{5} & - \frac{8}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 5\\0 & - \frac{4}{5} & - \frac{8}{5}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - 5 = 0$$
$$- \frac{4 x_{2}}{5} + \frac{8}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$

Численный ответ

x1 = 1.00000000000000
y1 = 2.00000000000000