5*x-3*y=21 3*x+2*y=5

Вы ввели

5*x - 3*y = 21

$$5 x - 3 y = 21$$

3*x + 2*y = 5

$$3 x + 2 y = 5$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$5 x - 3 y = 21$$
$$3 x + 2 y = 5$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$5 x - 3 y = 21$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x - 3 y + 3 y = - -1 \cdot 3 y + 21$$
$$5 x = 3 y + 21$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(3 y + 21\right)$$
$$x = \frac{3 y}{5} + \frac{21}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x + 2 y = 5$$
Получим:
$$2 y + 3 \left(\frac{3 y}{5} + \frac{21}{5}\right) = 5$$
$$\frac{19 y}{5} + \frac{63}{5} = 5$$
Перенесем свободное слагаемое 63/5 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{19 y}{5} = - \frac{38}{5}$$
$$\frac{19 y}{5} = - \frac{38}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{19}{5} y}{\frac{19}{5}} = -2$$
$$y = -2$$
Т.к.
$$x = \frac{3 y}{5} + \frac{21}{5}$$
то
$$x = \frac{-6}{5} + \frac{21}{5}$$
$$x = 3$$

Ответ:
$$x = 3$$
$$y = -2$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=

-2

Метод Крамера

$$5 x - 3 y = 21$$
$$3 x + 2 y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 3 y = 21$$
$$3 x + 2 y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} - 3 x_{2}\\3 x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}21\\5\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -3\\3 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 19$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{19} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}21 & -3\\5 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = \frac{1}{19} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 21\\3 & 5\end{matrix}\right] \right )} = -2$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$5 x - 3 y = 21$$
$$3 x + 2 y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 3 y = 21$$
$$3 x + 2 y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & -3 & 21\\3 & 2 & 5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & -3 & 21\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-9}{5} + 2 & - \frac{63}{5} + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{5} & - \frac{38}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & -3 & 21\\0 & \frac{19}{5} & - \frac{38}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{5} & - \frac{38}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 15\\0 & \frac{19}{5} & - \frac{38}{5}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - 15 = 0$$
$$\frac{19 x_{2}}{5} + \frac{38}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -2$$

Численный ответ

x1 = 3.00000000000000
y1 = -2.00000000000000