15*x+5*y=-2 5*x+22*y=86

Вы ввели

15*x + 5*y = -2

$$15 x + 5 y = -2$$

5*x + 22*y = 86

$$5 x + 22 y = 86$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$15 x + 5 y = -2$$
$$5 x + 22 y = 86$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$15 x + 5 y = -2$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$15 x = - 5 y - 2$$
$$15 x = - 5 y - 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{15 x}{15} = \frac{1}{15} \left(- 5 y - 2\right)$$
$$x = - \frac{y}{3} - \frac{2}{15}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x + 22 y = 86$$
Получим:
$$22 y + 5 \left(- \frac{y}{3} - \frac{2}{15}\right) = 86$$
$$\frac{61 y}{3} - \frac{2}{3} = 86$$
Перенесем свободное слагаемое -2/3 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{61 y}{3} = \frac{260}{3}$$
$$\frac{61 y}{3} = \frac{260}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{61}{3} y}{\frac{61}{3}} = \frac{260}{61}$$
$$y = \frac{260}{61}$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{3} - \frac{2}{15}$$
то
$$x = - \frac{260}{183} - \frac{2}{15}$$
$$x = - \frac{474}{305}$$

Ответ:
$$x = - \frac{474}{305}$$
$$y = \frac{260}{61}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = - \frac{474}{305}$$
=
$$- \frac{474}{305}$$
=

-1.55409836065574

$$y_{1} = \frac{260}{61}$$
=
$$\frac{260}{61}$$
=

4.26229508196721

Метод Крамера

$$15 x + 5 y = -2$$
$$5 x + 22 y = 86$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$15 x + 5 y = -2$$
$$5 x + 22 y = 86$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}15 x_{1} + 5 x_{2}\\5 x_{1} + 22 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2\\86\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}15 & 5\\5 & 22\end{matrix}\right] \right )} = 305$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{305} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-2 & 5\\86 & 22\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{474}{305}$$
$$x_{2} = \frac{1}{305} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}15 & -2\\5 & 86\end{matrix}\right] \right )} = \frac{260}{61}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$15 x + 5 y = -2$$
$$5 x + 22 y = 86$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$15 x + 5 y = -2$$
$$5 x + 22 y = 86$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}15 & 5 & -2\\5 & 22 & 86\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}15\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}15 & 5 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{5}{3} + 22 & - \frac{-2}{3} + 86\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{61}{3} & \frac{260}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}15 & 5 & -2\\0 & \frac{61}{3} & \frac{260}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\\frac{61}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{61}{3} & \frac{260}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}15 & 0 & - \frac{1300}{61} - 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}15 & 0 & - \frac{1422}{61}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}15 & 0 & - \frac{1422}{61}\\0 & \frac{61}{3} & \frac{260}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$15 x_{1} + \frac{1422}{61} = 0$$
$$\frac{61 x_{2}}{3} - \frac{260}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{474}{305}$$
$$x_{2} = \frac{260}{61}$$

Численный ответ

x1 = -1.554098360655738
y1 = 4.262295081967213