7*x+2*y=49 2*x+7*y=21

Вы ввели

7*x + 2*y = 49

$$7 x + 2 y = 49$$

2*x + 7*y = 21

$$2 x + 7 y = 21$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$7 x + 2 y = 49$$
$$2 x + 7 y = 21$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$7 x + 2 y = 49$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$7 x = - 2 y + 49$$
$$7 x = - 2 y + 49$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(- 2 y + 49\right)$$
$$x = - \frac{2 y}{7} + 7$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 7 y = 21$$
Получим:
$$7 y + 2 \left(- \frac{2 y}{7} + 7\right) = 21$$
$$\frac{45 y}{7} + 14 = 21$$
Перенесем свободное слагаемое 14 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{45 y}{7} = 7$$
$$\frac{45 y}{7} = 7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{45}{7} y}{\frac{45}{7}} = \frac{49}{45}$$
$$y = \frac{49}{45}$$
Т.к.
$$x = - \frac{2 y}{7} + 7$$
то
$$x = - \frac{14}{45} + 7$$
$$x = \frac{301}{45}$$

Ответ:
$$x = \frac{301}{45}$$
$$y = \frac{49}{45}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = \frac{301}{45}$$
=
$$\frac{301}{45}$$
=

6.68888888888889

$$y_{1} = \frac{49}{45}$$
=
$$\frac{49}{45}$$
=

1.08888888888889

Метод Крамера

$$7 x + 2 y = 49$$
$$2 x + 7 y = 21$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + 2 y = 49$$
$$2 x + 7 y = 21$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 x_{1} + 2 x_{2}\\2 x_{1} + 7 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}49\\21\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 2\\2 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 45$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{45} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}49 & 2\\21 & 7\end{matrix}\right] \right )} = \frac{301}{45}$$
$$x_{2} = \frac{1}{45} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 49\\2 & 21\end{matrix}\right] \right )} = \frac{49}{45}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$7 x + 2 y = 49$$
$$2 x + 7 y = 21$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + 2 y = 49$$
$$2 x + 7 y = 21$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & 2 & 49\\2 & 7 & 21\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & 2 & 49\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{4}{7} + 7 & 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{45}{7} & 7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 2 & 49\\0 & \frac{45}{7} & 7\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\\frac{45}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{45}{7} & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & - \frac{98}{45} + 49\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{2107}{45}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{2107}{45}\\0 & \frac{45}{7} & 7\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} - \frac{2107}{45} = 0$$
$$\frac{45 x_{2}}{7} - 7 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{301}{45}$$
$$x_{2} = \frac{49}{45}$$

Численный ответ

x1 = 6.688888888888889
y1 = 1.088888888888889