6*x-y=30 5*x+8*y=25

Вы ввели

6*x - y = 30

$$6 x - y = 30$$

5*x + 8*y = 25

$$5 x + 8 y = 25$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$6 x - y = 30$$
$$5 x + 8 y = 25$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$6 x - y = 30$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$6 x = - -1 y + 30$$
$$6 x = y + 30$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6} \left(y + 30\right)$$
$$x = \frac{y}{6} + 5$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x + 8 y = 25$$
Получим:
$$8 y + 5 \left(\frac{y}{6} + 5\right) = 25$$
$$\frac{53 y}{6} + 25 = 25$$
Перенесем свободное слагаемое 25 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{53 y}{6} = 0$$
$$\frac{53 y}{6} = 0$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{53}{6} y}{\frac{53}{6}} = 0$$
$$y = 0$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{6} + 5$$
то
$$x = \frac{0}{6} + 5$$
$$x = 5$$

Ответ:
$$x = 5$$
$$y = 0$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

Метод Крамера

$$6 x - y = 30$$
$$5 x + 8 y = 25$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$6 x - y = 30$$
$$5 x + 8 y = 25$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 x_{1} - x_{2}\\5 x_{1} + 8 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}30\\25\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & -1\\5 & 8\end{matrix}\right] \right )} = 53$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{53} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}30 & -1\\25 & 8\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
$$x_{2} = \frac{1}{53} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 30\\5 & 25\end{matrix}\right] \right )} = 0$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$6 x - y = 30$$
$$5 x + 8 y = 25$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$6 x - y = 30$$
$$5 x + 8 y = 25$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 & -1 & 30\\5 & 8 & 25\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}6 & -1 & 30\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-5}{6} + 8 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{53}{6} & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}6 & -1 & 30\\0 & \frac{53}{6} & 0\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{53}{6} & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6 & 0 & 30\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 30\\0 & \frac{53}{6} & 0\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$6 x_{1} - 30 = 0$$
$$\frac{53 x_{2}}{6} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 0$$

Численный ответ

x1 = 5.00000000000000
y1 = -2.067951531382569e-25

x2 = 5.00000000000000
y2 = 1.550963648536927e-25

x3 = 5.00000000000000
y3 = 2.067951531382569e-25

x4 = 5.00000000000000
y4 = 5.169878828456423e-26

x5 = 5.00000000000000
y5 = 0.0