16*x+30*y-40*z=-510 128*x ... =2605 42*x+43*y+41*z=2800

Вы ввели

16*x + 30*y - 40*z = -510

$$- 40 z + 16 x + 30 y = -510$$

128*x + 10*y + 15*z = 2605

$$15 z + 128 x + 10 y = 2605$$

42*x + 43*y + 41*z = 2800

$$41 z + 42 x + 43 y = 2800$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 15$$
=
$$15$$
=

15

$$z_{1} = 33$$
=
$$33$$
=

33

$$y_{1} = 19$$
=
$$19$$
=

19

Метод Крамера

$$- 40 z + 16 x + 30 y = -510$$
$$15 z + 128 x + 10 y = 2605$$
$$41 z + 42 x + 43 y = 2800$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$16 x + 30 y - 40 z = -510$$
$$128 x + 10 y + 15 z = 2605$$
$$42 x + 43 y + 41 z = 2800$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 40 x_{3} + 16 x_{1} + 30 x_{2}\\15 x_{3} + 128 x_{1} + 10 x_{2}\\41 x_{3} + 42 x_{1} + 43 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-510\\2605\\2800\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}16 & 30 & -40\\128 & 10 & 15\\42 & 43 & 41\end{matrix}\right] \right )} = -345660$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{345660} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-510 & 30 & -40\\2605 & 10 & 15\\2800 & 43 & 41\end{matrix}\right] \right )} = 15$$
$$x_{2} = - \frac{1}{345660} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}16 & -510 & -40\\128 & 2605 & 15\\42 & 2800 & 41\end{matrix}\right] \right )} = 19$$
$$x_{3} = - \frac{1}{345660} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}16 & 30 & -510\\128 & 10 & 2605\\42 & 43 & 2800\end{matrix}\right] \right )} = 33$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$- 40 z + 16 x + 30 y = -510$$
$$15 z + 128 x + 10 y = 2605$$
$$41 z + 42 x + 43 y = 2800$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$16 x + 30 y - 40 z = -510$$
$$128 x + 10 y + 15 z = 2605$$
$$42 x + 43 y + 41 z = 2800$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}16 & 30 & -40 & -510\\128 & 10 & 15 & 2605\\42 & 43 & 41 & 2800\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}16\\128\\42\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}16 & 30 & -40 & -510\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -230 & 335 & 6685\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -230 & 335 & 6685\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}16 & 30 & -40 & -510\\0 & -230 & 335 & 6685\\42 & 43 & 41 & 2800\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{315}{4} + 43 & 146 & - \frac{-5355}{4} + 2800\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{143}{4} & 146 & \frac{16555}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}16 & 30 & -40 & -510\\0 & -230 & 335 & 6685\\0 & - \frac{143}{4} & 146 & \frac{16555}{4}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}30\\-230\\- \frac{143}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -230 & 335 & 6685\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}16 & 0 & -40 - - \frac{1005}{23} & -510 - - \frac{20055}{23}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}16 & 0 & \frac{85}{23} & \frac{8325}{23}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}16 & 0 & \frac{85}{23} & \frac{8325}{23}\\0 & -230 & 335 & 6685\\0 & - \frac{143}{4} & 146 & \frac{16555}{4}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{143}{4} - - \frac{143}{4} & - \frac{9581}{184} + 146 & - \frac{191191}{184} + \frac{16555}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{17283}{184} & \frac{570339}{184}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}16 & 0 & \frac{85}{23} & \frac{8325}{23}\\0 & -230 & 335 & 6685\\0 & 0 & \frac{17283}{184} & \frac{570339}{184}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{85}{23}\\335\\\frac{17283}{184}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{17283}{184} & \frac{570339}{184}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}16 & 0 & - \frac{85}{23} + \frac{85}{23} & - \frac{2805}{23} + \frac{8325}{23}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}16 & 0 & 0 & 240\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}16 & 0 & 0 & 240\\0 & -230 & 335 & 6685\\0 & 0 & \frac{17283}{184} & \frac{570339}{184}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -230 & 0 & -4370\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -230 & 0 & -4370\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}16 & 0 & 0 & 240\\0 & -230 & 0 & -4370\\0 & 0 & \frac{17283}{184} & \frac{570339}{184}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$16 x_{1} - 240 = 0$$
$$- 230 x_{2} + 4370 = 0$$
$$\frac{17283 x_{3}}{184} - \frac{570339}{184} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 15$$
$$x_{2} = 19$$
$$x_{3} = 33$$

Численный ответ

x1 = 15.0000000000000
y1 = 19.0000000000000
z1 = 33.0000000000000