(3-i)*z1+(4-2*i)*z2=2+6*i ... +2*i)*z1-(2+3*i)*z2=5+4*i

Вы ввели

(3 - I)*z1 + (4 - 2*I)*z2 = 2 + 6*I

$$z_{1} \left(3 - i\right) + z_{2} \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i$$

(4 + 2*I)*z1 - (2 + 3*I)*z2 = 5 + 4*I

$$z_{1} \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$z_{1} \left(3 - i\right) + z_{2} \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i$$
$$z_{1} \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i$$

Из 1-го ур-ния выразим z1
$$z_{1} \left(3 - i\right) + z_{2} \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i$$
Перенесем слагаемое с переменной z2 из левой части в правую со сменой знака
$$z_{1} \left(3 - i\right) + z_{2} \left(4 - 2 i\right) - z_{2} \left(4 - 2 i\right) = - -1 z_{1} \left(3 - i\right) - z_{1} \left(3 - i\right) - z_{2} \left(4 - 2 i\right) + 2 + 6 i$$
$$z_{1} \left(3 - i\right) = - z_{2} \left(4 - 2 i\right) + 2 + 6 i$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при z1
$$\frac{z_{1} \left(3 - i\right)}{3 - i} = \frac{1}{3 - i} \left(- z_{2} \left(4 - 2 i\right) + 2 + 6 i\right)$$
$$z_{1} = - \frac{7 z_{2}}{5} + \frac{i z_{2}}{5} + 2 i$$
Подставим найденное z1 в 2-е ур-ние
$$z_{1} \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i$$
Получим:
$$- z_{2} \left(2 + 3 i\right) + \left(4 + 2 i\right) \left(- \frac{7 z_{2}}{5} + \frac{i z_{2}}{5} + 2 i\right) = 5 + 4 i$$
$$- 8 z_{2} - 5 i z_{2} - 4 + 8 i = 5 + 4 i$$
Перенесем свободное слагаемое -4 + 8*i из левой части в правую со сменой знака
$$- 8 z_{2} - 5 i z_{2} = 4 - 8 i + 5 + 4 i$$
$$- 8 z_{2} - 5 i z_{2} = 9 - 4 i$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при z2
$$\frac{- 8 z_{2} - 5 i z_{2}}{- 8 z_{2} - 5 i z_{2}} = \frac{9 - 4 i}{- 8 z_{2} - 5 i z_{2}}$$
$$\frac{-9 + 4 i}{z_{2} \left(8 + 5 i\right)} = 1$$
Т.к.
$$z_{1} = - \frac{7 z_{2}}{5} + \frac{i z_{2}}{5} + 2 i$$
то
$$z_{1} = - \frac{7}{5} + \frac{i}{5} + 2 i$$
$$z_{1} = - \frac{7}{5} + \frac{11 i}{5}$$

Ответ:
$$z_{1} = - \frac{7}{5} + \frac{11 i}{5}$$
$$\frac{-9 + 4 i}{z_{2} \left(8 + 5 i\right)} = 1$$

Быстрый ответ

$$z_{21} = - \frac{52}{89} + \frac{77 i}{89}$$
=
$$- \frac{52}{89} + \frac{77 i}{89}$$
=

-0.584269662921348 + 0.865168539325843*i

$$z_{11} = \frac{287}{445} + \frac{299 i}{445}$$
=
$$\frac{287}{445} + \frac{299 i}{445}$$
=

0.644943820224719 + 0.671910112359551*i

Метод Крамера

$$z_{1} \left(3 - i\right) + z_{2} \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i$$
$$z_{1} \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 z_{1} - i z_{1} + 4 z_{2} - 2 i z_{2} - 2 - 6 i = 0$$
$$4 z_{1} + 2 i z_{1} - 2 z_{2} - 3 i z_{2} - 5 - 4 i = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} \left(3 - i\right) + x_{2} \left(4 - 2 i\right)\\x_{1} \left(4 + 2 i\right) + x_{2} \left(-2 - 3 i\right)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 + 6 i\\5 + 4 i\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i\\4 + 2 i & -2 - 3 i\end{matrix}\right] \right )} = -29 - 7 i$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{-29 - 7 i} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 + 6 i & 4 - 2 i\\5 + 4 i & -2 - 3 i\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{3 - i} \left(2 - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\right)}{-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)} + 6 i\right)$$
=
$$\frac{287}{445} + \frac{299 i}{445}$$
$$x_{2} = \frac{1}{-29 - 7 i} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 - i & 2 + 6 i\\4 + 2 i & 5 + 4 i\end{matrix}\right] \right )} = \frac{5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i}{-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}$$
=
$$- \frac{52}{89} + \frac{77 i}{89}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$z_{1} \left(3 - i\right) + z_{2} \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i$$
$$z_{1} \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 z_{1} - i z_{1} + 4 z_{2} - 2 i z_{2} - 2 - 6 i = 0$$
$$4 z_{1} + 2 i z_{1} - 2 z_{2} - 3 i z_{2} - 5 - 4 i = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\\4 + 2 i & -2 - 3 i & 5 + 4 i\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3 - i\\4 + 2 i\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- 4 + 2 i + 4 + 2 i & -2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) & - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 5 + 4 i\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) & 5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\\0 & -2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) & 5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4 - 2 i\\-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) & 5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- 0 + 3 - i & 4 - 2 i - 4 - 2 i & - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\right)}{-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)} + 2 + 6 i\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 - i & 0 & 2 - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\right)}{-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)} + 6 i\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 0 & 2 - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\right)}{-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)} + 6 i\\0 & -2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) & 5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} \left(3 - i\right) - 2 - 6 i + \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\right)}{-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)} = 0$$
$$x_{2} \left(-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)\right) - 5 - 4 i + \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{287}{445} + \frac{299 i}{445}$$
$$x_{2} = - \frac{52}{89} + \frac{77 i}{89}$$

Численный ответ

z11 = 0.6449438202247191 + 0.6719101123595506*i
z21 = -0.5842696629213483 + 0.8651685393258427*i