x1-3*x2+x3=1 2*x1+x2-2*x3=-3 3*x1-x2-x3=0

Вы ввели

x1 - 3*x2 + x3 = 1

$$x_{3} + \left(x_{1} - 3 x_{2}\right) = 1$$

2*x1 + x2 - 2*x3 = -3

$$- 2 x_{3} + \left(2 x_{1} + x_{2}\right) = -3$$

3*x1 - x2 - x3 = 0

$$- x_{3} + \left(3 x_{1} - x_{2}\right) = 0$$

или

$$\begin{cases}x_{3} + \left(x_{1} - 3 x_{2}\right) = 1\\- 2 x_{3} + \left(2 x_{1} + x_{2}\right) = -3\\- x_{3} + \left(3 x_{1} - x_{2}\right) = 0\end{cases}$$

Быстрый ответ

$$x_{1 1} = \frac{9}{4}$$
=
$$\frac{9}{4}$$
=

2.25

$$x_{2 1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$x_{3 1} = \frac{19}{4}$$
=
$$\frac{19}{4}$$
=

4.75

Метод Крамера

$$x_{3} + \left(x_{1} - 3 x_{2}\right) = 1$$
$$- 2 x_{3} + \left(2 x_{1} + x_{2}\right) = -3$$
$$- x_{3} + \left(3 x_{1} - x_{2}\right) = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = 1$$
$$2 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} = -3$$
$$3 x_{1} - x_{2} - x_{3} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - 3 x_{2} + x_{3}\\2 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3}\\3 x_{1} - x_{2} - x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\-3\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -3 & 1\\2 & 1 & -2\\3 & -1 & -1\end{matrix}\right] \right)} = 4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -3 & 1\\-3 & 1 & -2\\0 & -1 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{4} = \frac{9}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\2 & -3 & -2\\3 & 0 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{4} = 2$$
$$x_{3} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -3 & 1\\2 & 1 & -3\\3 & -1 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{4} = \frac{19}{4}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x_{3} + \left(x_{1} - 3 x_{2}\right) = 1$$
$$- 2 x_{3} + \left(2 x_{1} + x_{2}\right) = -3$$
$$- x_{3} + \left(3 x_{1} - x_{2}\right) = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = 1$$
$$2 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} = -3$$
$$3 x_{1} - x_{2} - x_{3} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 1 & 1\\2 & 1 & -2 & -3\\3 & -1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & 1 - - 6 & -2 + \left(-1\right) 2 & -3 + \left(-1\right) 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & -4 & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 1 & 1\\0 & 7 & -4 & -5\\3 & -1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 3 + 3 & -1 - - 9 & \left(-1\right) 3 - 1 & \left(-1\right) 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 8 & -4 & -3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 1 & 1\\0 & 7 & -4 & -5\\0 & 8 & -4 & -3\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\7\\8\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -4 & -5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-3\right) 0}{7} & -3 - \frac{\left(-3\right) 7}{7} & 1 - - \frac{-12}{7} & 1 - - \frac{-15}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{5}{7} & - \frac{8}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{5}{7} & - \frac{8}{7}\\0 & 7 & -4 & -5\\0 & 8 & -4 & -3\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{0 \cdot 8}{7} & 8 - \frac{7 \cdot 8}{7} & -4 - - \frac{32}{7} & -3 - - \frac{40}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{19}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{5}{7} & - \frac{8}{7}\\0 & 7 & -4 & -5\\0 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{19}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{5}{7}\\-4\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{19}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-5\right) 0}{4} & - \frac{\left(-5\right) 0}{4} & - \frac{5}{7} - \frac{\left(-5\right) 4}{4 \cdot 7} & - \frac{8}{7} - \frac{\left(-5\right) 19}{4 \cdot 7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{9}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{9}{4}\\0 & 7 & -4 & -5\\0 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{19}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \left(-7\right) 0 & 7 - \left(-7\right) 0 & -4 - - 4 & -5 - - 19\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & 14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{9}{4}\\0 & 7 & 0 & 14\\0 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{19}{7}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{9}{4} = 0$$
$$7 x_{2} - 14 = 0$$
$$\frac{4 x_{3}}{7} - \frac{19}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{9}{4}$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = \frac{19}{4}$$

Численный ответ

x31 = 4.75
x21 = 2.0
x11 = 2.25