x+y+z=9 x+y-z=7 x-y=2

Вы ввели

x + y + z = 9

$$z + x + y = 9$$

x + y - z = 7

$$- z + x + y = 7$$

x - y = 2

$$x - y = 2$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

$$z_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

Метод Крамера

$$z + x + y = 9$$
$$- z + x + y = 7$$
$$x - y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y + z = 9$$
$$x + y - z = 7$$
$$x - y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{3} + x_{1} + x_{2}\\- x_{3} + x_{1} + x_{2}\\0 x_{3} + x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}9\\7\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & -1\\1 & -1 & 0\end{matrix}\right] \right )} = -4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}9 & 1 & 1\\7 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 9 & 1\\1 & 7 & -1\\1 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{3} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1 & 9\\1 & 1 & 7\\1 & -1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$z + x + y = 9$$
$$- z + x + y = 7$$
$$x - y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y + z = 9$$
$$x + y - z = 7$$
$$x - y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 9\\1 & 1 & -1 & 7\\1 & -1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 1 & 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 1 & 7\\1 & 1 & -1 & 7\\1 & -1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & -1 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & -1 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 1 & 7\\0 & 2 & -1 & 5\\1 & -1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\2\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 1 & 7\\0 & 0 & -2 & -2\\1 & -1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{-1}{2} & 2 - - \frac{7}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 1 & 7\\0 & 0 & -2 & -2\\1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 0 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 0 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 0 & 6\\0 & 0 & -2 & -2\\1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} + \frac{11}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 0 & 6\\0 & 0 & -2 & -2\\1 & 0 & 0 & 5\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{2} - 6 = 0$$
$$- 2 x_{3} + 2 = 0$$
$$x_{1} - 5 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{1} = 5$$

Численный ответ

x1 = 5.00000000000000
y1 = 3.00000000000000
z1 = 1.00000000000000