3*x+2*y-12=0 x+2*y-4=0

Вы ввели

[LaTeX]

3*x + 2*y - 12 = 0

$$3 x + 2 y - 12 = 0$$

x + 2*y - 4 = 0

$$x + 2 y - 4 = 0$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$3 x + 2 y - 12 = 0$$
$$x + 2 y - 4 = 0$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x + 2 y - 12 = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x - 12 = - 2 y$$
$$3 x - 12 = - 2 y$$
Перенесем свободное слагаемое -12 из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - 2 y + 12$$
$$3 x = - 2 y + 12$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- 2 y + 12\right)$$
$$x = - \frac{2 y}{3} + 4$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x + 2 y - 4 = 0$$
Получим:
$$2 y + - \frac{2 y}{3} + 4 - 4 = 0$$
$$\frac{4 y}{3} = 0$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{4}{3} y}{\frac{4}{3}} = 0$$
$$y = 0$$
Т.к.
$$x = - \frac{2 y}{3} + 4$$
то
$$x = - 0 + 4$$
$$x = 4$$

Ответ:
$$x = 4$$
$$y = 0$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

$$x_{1} = 4$$
=
$$4$$
=

4

$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

Метод Крамера

[LaTeX]

$$3 x + 2 y - 12 = 0$$
$$x + 2 y - 4 = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 2 y = 12$$
$$x + 2 y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + 2 x_{2}\\x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 2\\1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}12 & 2\\4 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{2} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 12\\1 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 0$$

Метод Гаусса

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$3 x + 2 y - 12 = 0$$
$$x + 2 y - 4 = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 2 y = 12$$
$$x + 2 y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 12\\1 & 2 & 4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 12\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{2}{3} + 2 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 12\\0 & \frac{4}{3} & 0\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 12\\0 & \frac{4}{3} & 0\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 12 = 0$$
$$\frac{4 x_{2}}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 0$$

Численный ответ

[LaTeX]

x1 = 4.00000000000000
y1 = 0.0

x2 = 4.00000000000000
y2 = -5.169878828456423e-26

x3 = 4.00000000000000
y3 = 1.033975765691285e-25

x4 = 4.00000000000000
y4 = -2.067951531382569e-25

x5 = 4.00000000000000
y5 = -1.033975765691285e-25

x6 = 4.00000000000000
y6 = -7.754818242684634e-26