220*x+30*y=137 30*x+6*y=42

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:

Примеры

Примеры

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

x + y = 5
2x - 3y = 1

Система линейных ур-ний с тремя неизвестными

2*x = 2
5*y = 10
x + y + z = 3

Система дробно-рациональных уравнений

x + y = 3
1/x + 1/y = 2/5

Система четырёх уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1
2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11

Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными

2x + 4y + 6z + 8v = 100
3x + 5y + 7z + 9v = 116
3x - 5y + 7z - 9v = -40
-2x + 4y - 6z + 8v = 36

Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь

2/x = 11
x - 3*z^2 = 0
2/7*x + y - z = -3

Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)

x = y^3
x*y = -5

Система ур-ний c квадратным корнем

x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3

Система тригонометрических ур-ний

x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1

Система показательных и логарифмических уравнений

y - log(x)/log(3) = 1
x^y = 3^12

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
220*x + 30*y = 137
$$220 x + 30 y = 137$$
30*x + 6*y = 42
$$30 x + 6 y = 42$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$220 x + 30 y = 137$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$220 x = - 30 y + 137$$
$$220 x = - 30 y + 137$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{220 x}{220} = \frac{1}{220} \left(- 30 y + 137\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{22} + \frac{137}{220}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$30 x + 6 y = 42$$
Получим:
$$6 y + 30 \left(- \frac{3 y}{22} + \frac{137}{220}\right) = 42$$
$$\frac{21 y}{11} + \frac{411}{22} = 42$$
Перенесем свободное слагаемое 411/22 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{21 y}{11} = \frac{513}{22}$$
$$\frac{21 y}{11} = \frac{513}{22}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{21}{11} y}{\frac{21}{11}} = \frac{171}{14}$$
$$y = \frac{171}{14}$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{22} + \frac{137}{220}$$
то
$$x = - \frac{513}{308} + \frac{137}{220}$$
$$x = - \frac{73}{70}$$

Ответ:
$$x = - \frac{73}{70}$$
$$y = \frac{171}{14}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = - \frac{73}{70}$$
=
$$- \frac{73}{70}$$
=
-1.04285714285714

$$y_{1} = \frac{171}{14}$$
=
$$\frac{171}{14}$$
=
12.2142857142857
Метод Крамера
[TeX]
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}220 x_{1} + 30 x_{2}\\30 x_{1} + 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}137\\42\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}220 & 30\\30 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 420$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{420} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}137 & 30\\42 & 6\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{73}{70}$$
$$x_{2} = \frac{1}{420} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}220 & 137\\30 & 42\end{matrix}\right] \right )} = \frac{171}{14}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}220 & 30 & 137\\30 & 6 & 42\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}220\\30\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}220 & 30 & 137\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{45}{11} + 6 & - \frac{411}{22} + 42\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}220 & 30 & 137\\0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}30\\\frac{21}{11}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}220 & 0 & - \frac{2565}{7} + 137\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}220 & 0 & - \frac{1606}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}220 & 0 & - \frac{1606}{7}\\0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$220 x_{1} + \frac{1606}{7} = 0$$
$$\frac{21 x_{2}}{11} - \frac{513}{22} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{73}{70}$$
$$x_{2} = \frac{171}{14}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -1.042857142857143
y1 = 12.21428571428571