220*x+30*y=137 30*x+6*y=42
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
220*x + 30*y = 137
$$220 x + 30 y = 137$$
30*x + 6*y = 42
$$30 x + 6 y = 42$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$220 x + 30 y = 137$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$220 x = - 30 y + 137$$
$$220 x = - 30 y + 137$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{220 x}{220} = \frac{1}{220} \left(- 30 y + 137\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{22} + \frac{137}{220}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$30 x + 6 y = 42$$
Получим:
$$6 y + 30 \left(- \frac{3 y}{22} + \frac{137}{220}\right) = 42$$
$$\frac{21 y}{11} + \frac{411}{22} = 42$$
Перенесем свободное слагаемое 411/22 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{21 y}{11} = \frac{513}{22}$$
$$\frac{21 y}{11} = \frac{513}{22}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{21}{11} y}{\frac{21}{11}} = \frac{171}{14}$$
$$y = \frac{171}{14}$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{22} + \frac{137}{220}$$
то
$$x = - \frac{513}{308} + \frac{137}{220}$$
$$x = - \frac{73}{70}$$
Ответ:
$$x = - \frac{73}{70}$$
$$y = \frac{171}{14}$$
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$220 x + 30 y = 137$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$220 x = - 30 y + 137$$
$$220 x = - 30 y + 137$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{220 x}{220} = \frac{1}{220} \left(- 30 y + 137\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{22} + \frac{137}{220}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$30 x + 6 y = 42$$
Получим:
$$6 y + 30 \left(- \frac{3 y}{22} + \frac{137}{220}\right) = 42$$
$$\frac{21 y}{11} + \frac{411}{22} = 42$$
Перенесем свободное слагаемое 411/22 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{21 y}{11} = \frac{513}{22}$$
$$\frac{21 y}{11} = \frac{513}{22}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{21}{11} y}{\frac{21}{11}} = \frac{171}{14}$$
$$y = \frac{171}{14}$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{22} + \frac{137}{220}$$
то
$$x = - \frac{513}{308} + \frac{137}{220}$$
$$x = - \frac{73}{70}$$
Ответ:
$$x = - \frac{73}{70}$$
$$y = \frac{171}{14}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = - \frac{73}{70}$$
=
$$- \frac{73}{70}$$
=
$$y_{1} = \frac{171}{14}$$
=
$$\frac{171}{14}$$
=
=
$$- \frac{73}{70}$$
=
-1.04285714285714
$$y_{1} = \frac{171}{14}$$
=
$$\frac{171}{14}$$
=
12.2142857142857
Метод Крамера
[TeX]
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}220 x_{1} + 30 x_{2}\\30 x_{1} + 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}137\\42\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}220 & 30\\30 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 420$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{420} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}137 & 30\\42 & 6\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{73}{70}$$
$$x_{2} = \frac{1}{420} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}220 & 137\\30 & 42\end{matrix}\right] \right )} = \frac{171}{14}$$
$$30 x + 6 y = 42$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}220 x_{1} + 30 x_{2}\\30 x_{1} + 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}137\\42\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}220 & 30\\30 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 420$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{420} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}137 & 30\\42 & 6\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{73}{70}$$
$$x_{2} = \frac{1}{420} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}220 & 137\\30 & 42\end{matrix}\right] \right )} = \frac{171}{14}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}220 & 30 & 137\\30 & 6 & 42\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}220\\30\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}220 & 30 & 137\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{45}{11} + 6 & - \frac{411}{22} + 42\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}220 & 30 & 137\\0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}30\\\frac{21}{11}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}220 & 0 & - \frac{2565}{7} + 137\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}220 & 0 & - \frac{1606}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}220 & 0 & - \frac{1606}{7}\\0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$220 x_{1} + \frac{1606}{7} = 0$$
$$\frac{21 x_{2}}{11} - \frac{513}{22} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{73}{70}$$
$$x_{2} = \frac{171}{14}$$
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$220 x + 30 y = 137$$
$$30 x + 6 y = 42$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}220 & 30 & 137\\30 & 6 & 42\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}220\\30\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}220 & 30 & 137\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{45}{11} + 6 & - \frac{411}{22} + 42\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}220 & 30 & 137\\0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}30\\\frac{21}{11}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}220 & 0 & - \frac{2565}{7} + 137\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}220 & 0 & - \frac{1606}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}220 & 0 & - \frac{1606}{7}\\0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$220 x_{1} + \frac{1606}{7} = 0$$
$$\frac{21 x_{2}}{11} - \frac{513}{22} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{73}{70}$$
$$x_{2} = \frac{171}{14}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -1.042857142857143 y1 = 12.21428571428571