Дана система ур-ний $$220 x + 30 y = 137$$ $$30 x + 6 y = 42$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$220 x + 30 y = 137$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$220 x = - 30 y + 137$$ $$220 x = - 30 y + 137$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{220 x}{220} = \frac{1}{220} \left(- 30 y + 137\right)$$ $$x = - \frac{3 y}{22} + \frac{137}{220}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$30 x + 6 y = 42$$ Получим: $$6 y + 30 \left(- \frac{3 y}{22} + \frac{137}{220}\right) = 42$$ $$\frac{21 y}{11} + \frac{411}{22} = 42$$ Перенесем свободное слагаемое 411/22 из левой части в правую со сменой знака $$\frac{21 y}{11} = \frac{513}{22}$$ $$\frac{21 y}{11} = \frac{513}{22}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{\frac{21}{11} y}{\frac{21}{11}} = \frac{171}{14}$$ $$y = \frac{171}{14}$$ Т.к. $$x = - \frac{3 y}{22} + \frac{137}{220}$$ то $$x = - \frac{513}{308} + \frac{137}{220}$$ $$x = - \frac{73}{70}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$220 x + 30 y = 137$$ $$30 x + 6 y = 42$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}220 x_{1} + 30 x_{2}\\30 x_{1} + 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}137\\42\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}220 & 30\\30 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 420$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{420} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}137 & 30\\42 & 6\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{73}{70}$$ $$x_{2} = \frac{1}{420} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}220 & 137\\30 & 42\end{matrix}\right] \right )} = \frac{171}{14}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$220 x + 30 y = 137$$ $$30 x + 6 y = 42$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$220 x + 30 y = 137$$ $$30 x + 6 y = 42$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}220 & 30 & 137\\30 & 6 & 42\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}220\\30\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}220 & 30 & 137\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{45}{11} + 6 & - \frac{411}{22} + 42\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}220 & 30 & 137\\0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}30\\\frac{21}{11}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}220 & 0 & - \frac{2565}{7} + 137\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}220 & 0 & - \frac{1606}{7}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}220 & 0 & - \frac{1606}{7}\\0 & \frac{21}{11} & \frac{513}{22}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$220 x_{1} + \frac{1606}{7} = 0$$ $$\frac{21 x_{2}}{11} - \frac{513}{22} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = - \frac{73}{70}$$ $$x_{2} = \frac{171}{14}$$