1300=x*cos(2013/100)+y*cos(1313/100) 1500=x*sin(2013/100)-y*sin(1313/100)

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:

Примеры

Примеры

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

x + y = 5
2x - 3y = 1

Система линейных ур-ний с тремя неизвестными

2*x = 2
5*y = 10
x + y + z = 3

Система дробно-рациональных уравнений

x + y = 3
1/x + 1/y = 2/5

Система четырёх уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1
2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11

Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными

2x + 4y + 6z + 8v = 100
3x + 5y + 7z + 9v = 116
3x - 5y + 7z - 9v = -40
-2x + 4y - 6z + 8v = 36

Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь

2/x = 11
x - 3*z^2 = 0
2/7*x + y - z = -3

Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)

x = y^3
x*y = -5

Система ур-ний c квадратным корнем

x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3

Система тригонометрических ур-ний

x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1

Система показательных и логарифмических уравнений

y - log(x)/log(3) = 1
x^y = 3^12

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
            /2013\        /1313\
1300 = x*cos|----| + y*cos|----|
            \100 /        \100 /
$$1300 = x \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}$$
            /2013\        /1313\
1500 = x*sin|----| - y*sin|----|
            \100 /        \100 /
$$1500 = x \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} - y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )}$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$1300 = x \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}$$
$$1500 = x \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} - y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )}$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$1300 = x \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}$$
Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака
$$- x \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + 1300 = y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}$$
$$- x \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + 1300 = y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}$$
Перенесем свободное слагаемое 1300 из левой части в правую со сменой знака
$$- x \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} = y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} - 1300$$
$$- x \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} = y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} - 1300$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{-1 x \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{-1 \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} = \frac{y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} - 1300}{-1 \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}$$
$$x = \frac{- y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} + 1300}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$1500 = x \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} - y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )}$$
Получим:
$$1500 = - y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{- y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} + 1300}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}$$
$$1500 = - \frac{y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} - y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}$$
Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака
$$- -1 y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} - - \frac{y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} + 1500 = \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}$$
$$y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} + 1500 = \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}$$
Перенесем свободное слагаемое 1500 из левой части в правую со сменой знака
$$y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} = -1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}$$
$$y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} = -1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}} = \frac{-1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}}{\sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}}$$
$$y = \frac{1}{\sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}} \left(- 1500 \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + 1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}\right)$$
Т.к.
$$x = \frac{- y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} + 1300}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}$$
то
$$x = \frac{1}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} \left(- \frac{100 \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}} \left(- 15 \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + 13 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}\right) + 1300\right)$$
$$x = \frac{1}{\sin{\left (\frac{5339}{100} \right )} + \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )}} \left(- 1300 \sin{\left (7 \right )} + 1500 \cos{\left (\frac{1663}{50} \right )} + 1500 \cos{\left (7 \right )} + 1300 \sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}\right)$$

Ответ:
$$x = \frac{1}{\sin{\left (\frac{5339}{100} \right )} + \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )}} \left(- 1300 \sin{\left (7 \right )} + 1500 \cos{\left (\frac{1663}{50} \right )} + 1500 \cos{\left (7 \right )} + 1300 \sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}\right)$$
$$y = \frac{1}{\sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}} \left(- 1500 \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + 1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}\right)$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{1}{\sin{\left (\frac{1663}{50} \right )} \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} \left(- 650 \sin{\left (7 \right )} + 750 \cos{\left (\frac{1663}{50} \right )} + 750 \cos{\left (7 \right )} + 650 \sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}\right)$$
=
$$\frac{1}{\sin{\left (\frac{1663}{50} \right )} \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} \left(- 650 \sin{\left (7 \right )} + 750 \cos{\left (\frac{1663}{50} \right )} + 750 \cos{\left (7 \right )} + 650 \sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}\right)$$
=
2038.14997385844

$$y_{1} = \frac{1}{\sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}} \left(- 1500 \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + 1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}\right)$$
=
$$\frac{1}{\sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}} \left(- 1500 \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + 1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}\right)$$
=
847.604642149545
Метод Крамера
[TeX]
$$1300 = x \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}$$
$$1500 = x \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} - y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- x \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} - y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} + 1300 = 0$$
$$- x \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} + y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + 1500 = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} \left(- \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}\right) + x_{2} \left(- \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}\right)\\x_{1} \left(- \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}\right) + x_{2} \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1300\\-1500\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} & - \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}\\- \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} & \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )}\end{matrix}\right] \right )} = - \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} - \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1300 & - \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}\\-1500 & \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )}\end{matrix}\right] \right )}}{- \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} - \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} = - \frac{1}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} \left(-1300 + \frac{\left(-1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}\right) \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}}\right)$$
=
$$\frac{1}{\sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}} \left(1300 \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + 1500 \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} & -1300\\- \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} & -1500\end{matrix}\right] \right )}}{- \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} - \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} = \frac{-1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}}{\sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}}$$
=
$$\frac{1}{\sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}} \left(- 1500 \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + 1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}\right)$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$1300 = x \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}$$
$$1500 = x \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} - y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- x \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} - y \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} + 1300 = 0$$
$$- x \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} + y \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + 1500 = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} & - \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} & -1300\\- \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} & \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} & -1500\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}\\- \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}- \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} & - \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} & -1300\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} - - \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} & \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} - - \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} & -1500 - - \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} & -1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}- \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} & - \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} & -1300\\0 & \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} & -1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}\\\sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} & -1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} - 0 & - \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} - - \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )} & -1300 - - \frac{\left(-1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}\right) \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} & 0 & -1300 + \frac{\left(-1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}\right) \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}- \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} & 0 & -1300 + \frac{\left(-1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}\right) \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}}\\0 & \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} & -1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- x_{1} \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} - \frac{\left(-1500 + \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}\right) \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}} + 1300 = 0$$
$$x_{2} \left(\sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + \frac{\sin{\left (\frac{2013}{100} \right )} \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}}\right) - \frac{1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}}{\cos{\left (\frac{2013}{100} \right )}} + 1500 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{\sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}} \left(1300 \sin{\left (\frac{1313}{100} \right )} + 1500 \cos{\left (\frac{1313}{100} \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{\sin{\left (\frac{1663}{50} \right )}} \left(- 1500 \cos{\left (\frac{2013}{100} \right )} + 1300 \sin{\left (\frac{2013}{100} \right )}\right)$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 2038.14997385844
y1 = 847.604642149543