2*x-5*y=-15 -2*x+7*y=21

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

2*x - 5*y = -15

$$2 x - 5 y = -15$$

-2*x + 7*y = 21

$$- 2 x + 7 y = 21$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$2 x - 5 y = -15$$
$$- 2 x + 7 y = 21$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x - 5 y = -15$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x - 5 y + 5 y = - -1 \cdot 5 y - 15$$
$$2 x = 5 y - 15$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(5 y - 15\right)$$
$$x = \frac{5 y}{2} - \frac{15}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 2 x + 7 y = 21$$
Получим:
$$7 y - 2 \left(\frac{5 y}{2} - \frac{15}{2}\right) = 21$$
$$2 y + 15 = 21$$
Перенесем свободное слагаемое 15 из левой части в правую со сменой знака
$$2 y = 6$$
$$2 y = 6$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{2 y}{2} = 3$$
$$y = 3$$
Т.к.
$$x = \frac{5 y}{2} - \frac{15}{2}$$
то
$$x = - \frac{15}{2} + \frac{15}{2}$$
$$x = 0$$

Ответ:
$$x = 0$$
$$y = 3$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

Метод Крамера

[TeX]

$$2 x - 5 y = -15$$
$$- 2 x + 7 y = 21$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - 5 y = -15$$
$$- 2 x + 7 y = 21$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - 5 x_{2}\\- 2 x_{1} + 7 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-15\\21\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -5\\-2 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-15 & -5\\21 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -15\\-2 & 21\end{matrix}\right] \right )} = 3$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$2 x - 5 y = -15$$
$$- 2 x + 7 y = 21$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - 5 y = -15$$
$$- 2 x + 7 y = 21$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -5 & -15\\-2 & 7 & 21\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -5 & -15\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -5 & -15\\0 & 2 & 6\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 6\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} = 0$$
$$2 x_{2} - 6 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 0.0
y1 = 3.00000000000000