x+7*y=3 3*x-2*y=32
Решение
Подробное решение
Дана система ур-ний
$$x + 7 y = 3$$
$$3 x - 2 y = 32$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 7 y = 3$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 7 y + 3$$
$$x = - 7 y + 3$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x - 2 y = 32$$
Получим:
$$- 2 y + 3 \left(- 7 y + 3\right) = 32$$
$$- 23 y + 9 = 32$$
Перенесем свободное слагаемое 9 из левой части в правую со сменой знака
$$- 23 y = 23$$
$$- 23 y = 23$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-23} \left(-1 \cdot 23 y\right) = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = - 7 y + 3$$
то
$$x = 3 - -7$$
$$x = 10$$
Ответ:
$$x = 10$$
$$y = -1$$
$$x + 7 y = 3$$
$$3 x - 2 y = 32$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 7 y = 3$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 7 y + 3$$
$$x = - 7 y + 3$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x - 2 y = 32$$
Получим:
$$- 2 y + 3 \left(- 7 y + 3\right) = 32$$
$$- 23 y + 9 = 32$$
Перенесем свободное слагаемое 9 из левой части в правую со сменой знака
$$- 23 y = 23$$
$$- 23 y = 23$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-23} \left(-1 \cdot 23 y\right) = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = - 7 y + 3$$
то
$$x = 3 - -7$$
$$x = 10$$
Ответ:
$$x = 10$$
$$y = -1$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 10$$
=
$$10$$
=
$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=
=
$$10$$
=
10
$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=
-1
Метод Крамера
$$x + 7 y = 3$$
$$3 x - 2 y = 32$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 7 y = 3$$
$$3 x - 2 y = 32$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 7 x_{2}\\3 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3\\32\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 7\\3 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -23$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 7\\32 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 10$$
$$x_{2} = - \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3\\3 & 32\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$3 x - 2 y = 32$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 7 y = 3$$
$$3 x - 2 y = 32$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 7 x_{2}\\3 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3\\32\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 7\\3 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -23$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 7\\32 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 10$$
$$x_{2} = - \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3\\3 & 32\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$x + 7 y = 3$$
$$3 x - 2 y = 32$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 7 y = 3$$
$$3 x - 2 y = 32$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 7 & 3\\3 & -2 & 32\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 7 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -23 & 23\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -23 & 23\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 7 & 3\\0 & -23 & 23\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\-23\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -23 & 23\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\\0 & -23 & 23\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 10 = 0$$
$$- 23 x_{2} - 23 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = -1$$
$$x + 7 y = 3$$
$$3 x - 2 y = 32$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 7 y = 3$$
$$3 x - 2 y = 32$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 7 & 3\\3 & -2 & 32\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 7 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -23 & 23\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -23 & 23\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 7 & 3\\0 & -23 & 23\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\-23\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -23 & 23\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\\0 & -23 & 23\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 10 = 0$$
$$- 23 x_{2} - 23 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = -1$$
Численный ответ
[src]
x1 = 10.0000000000000 y1 = -1.00000000000000