9*f2-3*f3-2*f4-2*a=40 13*f3-4*f4-5*f2=-200 27*f4-12*f3-10*f2+10*a=-700 f4-f2+a=12

Вы ввели

9*f2 - 3*f3 - 2*f4 - 2*a = 40

$$- 2 a + - 2 f_{4} + 9 f_{2} - 3 f_{3} = 40$$

13*f3 - 4*f4 - 5*f2 = -200

$$- 5 f_{2} + 13 f_{3} - 4 f_{4} = -200$$

27*f4 - 12*f3 - 10*f2 + 10*a = -700

$$10 a + - 10 f_{2} + - 12 f_{3} + 27 f_{4} = -700$$

f4 - f2 + a = 12

$$a + - f_{2} + f_{4} = 12$$

Быстрый ответ

$$f_{21} = - \frac{2242}{239}$$
=
$$- \frac{2242}{239}$$
=

-9.38075313807531

$$f_{41} = - \frac{18820}{239}$$
=
$$- \frac{18820}{239}$$
=

-78.744769874477

$$f_{31} = - \frac{10330}{239}$$
=
$$- \frac{10330}{239}$$
=

-43.2217573221757

$$a_{1} = \frac{19446}{239}$$
=
$$\frac{19446}{239}$$
=

81.3640167364017

Метод Крамера

$$- 2 a + - 2 f_{4} + 9 f_{2} - 3 f_{3} = 40$$
$$- 5 f_{2} + 13 f_{3} - 4 f_{4} = -200$$
$$10 a + - 10 f_{2} + - 12 f_{3} + 27 f_{4} = -700$$
$$a + - f_{2} + f_{4} = 12$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 2 a + 9 f_{2} - 3 f_{3} - 2 f_{4} = 40$$
$$- 5 f_{2} + 13 f_{3} - 4 f_{4} = -200$$
$$10 a - 10 f_{2} - 12 f_{3} + 27 f_{4} = -700$$
$$a - f_{2} + f_{4} = 12$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 2 x_{4} + - 3 x_{3} + - 2 x_{1} + 9 x_{2}\\- 4 x_{4} + 13 x_{3} + 0 x_{1} - 5 x_{2}\\27 x_{4} + - 12 x_{3} + 10 x_{1} - 10 x_{2}\\x_{4} + 0 x_{3} + x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}40\\-200\\-700\\12\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-2 & 9 & -3 & -2\\0 & -5 & 13 & -4\\10 & -10 & -12 & 27\\1 & -1 & 0 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -956$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{956} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}40 & 9 & -3 & -2\\-200 & -5 & 13 & -4\\-700 & -10 & -12 & 27\\12 & -1 & 0 & 1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{19446}{239}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{956} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-2 & 40 & -3 & -2\\0 & -200 & 13 & -4\\10 & -700 & -12 & 27\\1 & 12 & 0 & 1\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{2242}{239}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{956} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-2 & 9 & 40 & -2\\0 & -5 & -200 & -4\\10 & -10 & -700 & 27\\1 & -1 & 12 & 1\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{10330}{239}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{956} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-2 & 9 & -3 & 40\\0 & -5 & 13 & -200\\10 & -10 & -12 & -700\\1 & -1 & 0 & 12\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{18820}{239}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$- 2 a + - 2 f_{4} + 9 f_{2} - 3 f_{3} = 40$$
$$- 5 f_{2} + 13 f_{3} - 4 f_{4} = -200$$
$$10 a + - 10 f_{2} + - 12 f_{3} + 27 f_{4} = -700$$
$$a + - f_{2} + f_{4} = 12$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 2 a + 9 f_{2} - 3 f_{3} - 2 f_{4} = 40$$
$$- 5 f_{2} + 13 f_{3} - 4 f_{4} = -200$$
$$10 a - 10 f_{2} - 12 f_{3} + 27 f_{4} = -700$$
$$a - f_{2} + f_{4} = 12$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-2 & 9 & -3 & -2 & 40\\0 & -5 & 13 & -4 & -200\\10 & -10 & -12 & 27 & -700\\1 & -1 & 0 & 1 & 12\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\0\\10\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 1 & 12\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\\0 & -5 & 13 & -4 & -200\\10 & -10 & -12 & 27 & -700\\1 & -1 & 0 & 1 & 12\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -12 & 17 & -820\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -12 & 17 & -820\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\\0 & -5 & 13 & -4 & -200\\0 & 0 & -12 & 17 & -820\\1 & -1 & 0 & 1 & 12\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\-5\\0\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{15}{7} + 13 & -4 & -200 - - \frac{320}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{76}{7} & -4 & - \frac{1080}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\\0 & 0 & \frac{76}{7} & -4 & - \frac{1080}{7}\\0 & 0 & -12 & 17 & -820\\1 & -1 & 0 & 1 & 12\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{3}{7} & 1 & - \frac{-64}{7} + 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{3}{7} & 1 & \frac{148}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\\0 & 0 & \frac{76}{7} & -4 & - \frac{1080}{7}\\0 & 0 & -12 & 17 & -820\\1 & 0 & - \frac{3}{7} & 1 & \frac{148}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\\frac{76}{7}\\-12\\- \frac{3}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-76}{3} & - \frac{76}{7} + \frac{76}{7} & -4 & - \frac{1080}{7} - - \frac{4864}{21}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{76}{3} & 0 & -4 & \frac{232}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\\0 & \frac{76}{3} & 0 & -4 & \frac{232}{3}\\0 & 0 & -12 & 17 & -820\\1 & 0 & - \frac{3}{7} & 1 & \frac{148}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -28 & 0 & 17 & -1076\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -28 & 0 & 17 & -1076\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\\0 & \frac{76}{3} & 0 & -4 & \frac{232}{3}\\0 & -28 & 0 & 17 & -1076\\1 & 0 & - \frac{3}{7} & 1 & \frac{148}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & - \frac{3}{7} - - \frac{3}{7} & 1 & - \frac{64}{7} + \frac{148}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 1 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\\0 & \frac{76}{3} & 0 & -4 & \frac{232}{3}\\0 & -28 & 0 & 17 & -1076\\1 & -1 & 0 & 1 & 12\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\-4\\17\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{76}{3} & 0 & -4 & \frac{232}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -28 - - \frac{323}{3} & 0 & 0 & -1076 - - \frac{986}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{239}{3} & 0 & 0 & - \frac{2242}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\\0 & \frac{76}{3} & 0 & -4 & \frac{232}{3}\\0 & \frac{239}{3} & 0 & 0 & - \frac{2242}{3}\\1 & -1 & 0 & 1 & 12\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 - - \frac{19}{3} & 0 & 0 & 12 - - \frac{58}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & \frac{16}{3} & 0 & 0 & \frac{94}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 0 & 64\\0 & \frac{76}{3} & 0 & -4 & \frac{232}{3}\\0 & \frac{239}{3} & 0 & 0 & - \frac{2242}{3}\\1 & \frac{16}{3} & 0 & 0 & \frac{94}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\\frac{76}{3}\\\frac{239}{3}\\\frac{16}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{239}{3} & 0 & 0 & - \frac{2242}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -3 & 0 & 64 - - \frac{15694}{239}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -3 & 0 & \frac{30990}{239}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -3 & 0 & \frac{30990}{239}\\0 & \frac{76}{3} & 0 & -4 & \frac{232}{3}\\0 & \frac{239}{3} & 0 & 0 & - \frac{2242}{3}\\1 & \frac{16}{3} & 0 & 0 & \frac{94}{3}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{76}{3} + \frac{76}{3} & 0 & -4 & \frac{232}{3} - - \frac{170392}{717}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & -4 & \frac{75280}{239}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -3 & 0 & \frac{30990}{239}\\0 & 0 & 0 & -4 & \frac{75280}{239}\\0 & \frac{239}{3} & 0 & 0 & - \frac{2242}{3}\\1 & \frac{16}{3} & 0 & 0 & \frac{94}{3}\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & - \frac{16}{3} + \frac{16}{3} & 0 & 0 & \frac{94}{3} - - \frac{35872}{717}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & \frac{19446}{239}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -3 & 0 & \frac{30990}{239}\\0 & 0 & 0 & -4 & \frac{75280}{239}\\0 & \frac{239}{3} & 0 & 0 & - \frac{2242}{3}\\1 & 0 & 0 & 0 & \frac{19446}{239}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 3 x_{3} - \frac{30990}{239} = 0$$
$$- 4 x_{4} - \frac{75280}{239} = 0$$
$$\frac{239 x_{2}}{3} + \frac{2242}{3} = 0$$
$$x_{1} - \frac{19446}{239} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{3} = - \frac{10330}{239}$$
$$x_{4} = - \frac{18820}{239}$$
$$x_{2} = - \frac{2242}{239}$$
$$x_{1} = \frac{19446}{239}$$

Численный ответ

a1 = 81.36401673640167
f21 = -9.380753138075314
f31 = -43.22175732217573
f41 = -78.74476987447699