3*x+4*y=11 5*x-2*y=1

Вы ввели

3*x + 4*y = 11

$$3 x + 4 y = 11$$

5*x - 2*y = 1

$$5 x - 2 y = 1$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$3 x + 4 y = 11$$
$$5 x - 2 y = 1$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x + 4 y = 11$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - 4 y + 11$$
$$3 x = - 4 y + 11$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- 4 y + 11\right)$$
$$x = - \frac{4 y}{3} + \frac{11}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x - 2 y = 1$$
Получим:
$$- 2 y + 5 \left(- \frac{4 y}{3} + \frac{11}{3}\right) = 1$$
$$- \frac{26 y}{3} + \frac{55}{3} = 1$$
Перенесем свободное слагаемое 55/3 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{26 y}{3} = - \frac{52}{3}$$
$$- \frac{26 y}{3} = - \frac{52}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{26}{3} y}{- \frac{26}{3}} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = - \frac{4 y}{3} + \frac{11}{3}$$
то
$$x = - \frac{8}{3} + \frac{11}{3}$$
$$x = 1$$

Ответ:
$$x = 1$$
$$y = 2$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

$$3 x + 4 y = 11$$
$$5 x - 2 y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 4 y = 11$$
$$5 x - 2 y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + 4 x_{2}\\5 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}11\\1\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4\\5 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -26$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{26} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}11 & 4\\1 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{26} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 11\\5 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$3 x + 4 y = 11$$
$$5 x - 2 y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 4 y = 11$$
$$5 x - 2 y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 11\\5 & -2 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 11\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{20}{3} - 2 & - \frac{55}{3} + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{26}{3} & - \frac{52}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 11\\0 & - \frac{26}{3} & - \frac{52}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\- \frac{26}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{26}{3} & - \frac{52}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\\0 & - \frac{26}{3} & - \frac{52}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 3 = 0$$
$$- \frac{26 x_{2}}{3} + \frac{52}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$

Численный ответ

x1 = 1.00000000000000
y1 = 2.00000000000000