3*x+y=7 9*x-4*y=-7

Вы ввели

3*x + y = 7

$$3 x + y = 7$$

9*x - 4*y = -7

$$9 x - 4 y = -7$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$3 x + y = 7$$
$$9 x - 4 y = -7$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x + y = 7$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - y + 7$$
$$3 x = - y + 7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- y + 7\right)$$
$$x = - \frac{y}{3} + \frac{7}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$9 x - 4 y = -7$$
Получим:
$$- 4 y + 9 \left(- \frac{y}{3} + \frac{7}{3}\right) = -7$$
$$- 7 y + 21 = -7$$
Перенесем свободное слагаемое 21 из левой части в правую со сменой знака
$$- 7 y = -28$$
$$- 7 y = -28$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-7} \left(-1 \cdot 7 y\right) = 4$$
$$y = 4$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{3} + \frac{7}{3}$$
то
$$x = - \frac{4}{3} + \frac{7}{3}$$
$$x = 1$$

Ответ:
$$x = 1$$
$$y = 4$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$y_{1} = 4$$
=
$$4$$
=

4

Метод Крамера

$$3 x + y = 7$$
$$9 x - 4 y = -7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + y = 7$$
$$9 x - 4 y = -7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + x_{2}\\9 x_{1} - 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\-7\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 1\\9 & -4\end{matrix}\right] \right )} = -21$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{21} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 1\\-7 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{21} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 7\\9 & -7\end{matrix}\right] \right )} = 4$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$3 x + y = 7$$
$$9 x - 4 y = -7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + y = 7$$
$$9 x - 4 y = -7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 7\\9 & -4 & -7\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -7 & -28\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -7 & -28\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 7\\0 & -7 & -28\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -7 & -28\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\\0 & -7 & -28\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 3 = 0$$
$$- 7 x_{2} + 28 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$

Численный ответ

x1 = 1.00000000000000
y1 = 4.00000000000000