Дана система ур-ний $$3 x + y = 7$$ $$9 x - 4 y = -7$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$3 x + y = 7$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$3 x = - y + 7$$ $$3 x = - y + 7$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- y + 7\right)$$ $$x = - \frac{y}{3} + \frac{7}{3}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$9 x - 4 y = -7$$ Получим: $$- 4 y + 9 \left(- \frac{y}{3} + \frac{7}{3}\right) = -7$$ $$- 7 y + 21 = -7$$ Перенесем свободное слагаемое 21 из левой части в правую со сменой знака $$- 7 y = -28$$ $$- 7 y = -28$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{1}{-7} \left(-1 \cdot 7 y\right) = 4$$ $$y = 4$$ Т.к. $$x = - \frac{y}{3} + \frac{7}{3}$$ то $$x = - \frac{4}{3} + \frac{7}{3}$$ $$x = 1$$
Ответ: $$x = 1$$ $$y = 4$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 1$$ = $$1$$ =
1
$$y_{1} = 4$$ = $$4$$ =
4
Метод Крамера
$$3 x + y = 7$$ $$9 x - 4 y = -7$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x + y = 7$$ $$9 x - 4 y = -7$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + x_{2}\\9 x_{1} - 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\-7\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 1\\9 & -4\end{matrix}\right] \right )} = -21$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{21} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 1\\-7 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 1$$ $$x_{2} = - \frac{1}{21} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 7\\9 & -7\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$3 x + y = 7$$ $$9 x - 4 y = -7$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x + y = 7$$ $$9 x - 4 y = -7$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 7\\9 & -4 & -7\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -7 & -28\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -7 & -28\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 7\\0 & -7 & -28\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & -7 & -28\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\\0 & -7 & -28\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$3 x_{1} - 3 = 0$$ $$- 7 x_{2} + 28 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 1$$ $$x_{2} = 4$$