x1-3*x2+6*x4=9 2*x1+x2-5*x3+x4=8 2*x2-x3+2*x4=-5 x1+4*x2-7*x3+6*x4=0

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:
54 уравнение:

Примеры

Решение

Вы ввели [src]
x1 - 3*x2 + 6*x4 = 9
$$6 x_{4} + x_{1} - 3 x_{2} = 9$$
2*x1 + x2 - 5*x3 + x4 = 8
$$x_{4} + - 5 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2} = 8$$
2*x2 - x3 + 2*x4 = -5
$$2 x_{4} + 2 x_{2} - x_{3} = -5$$
x1 + 4*x2 - 7*x3 + 6*x4 = 0
$$6 x_{4} + - 7 x_{3} + x_{1} + 4 x_{2} = 0$$
Быстрый ответ
$$x_{31} = - \frac{67}{35}$$
=
$$- \frac{67}{35}$$
=
-1.91428571428571

$$x_{41} = - \frac{9}{35}$$
=
$$- \frac{9}{35}$$
=
-0.257142857142857

$$x_{11} = \frac{33}{35}$$
=
$$\frac{33}{35}$$
=
0.942857142857143

$$x_{21} = - \frac{16}{5}$$
=
$$- \frac{16}{5}$$
=
-3.2
Метод Крамера
$$6 x_{4} + x_{1} - 3 x_{2} = 9$$
$$x_{4} + - 5 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2} = 8$$
$$2 x_{4} + 2 x_{2} - x_{3} = -5$$
$$6 x_{4} + - 7 x_{3} + x_{1} + 4 x_{2} = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} - 3 x_{2} + 6 x_{4} = 9$$
$$2 x_{1} + x_{2} - 5 x_{3} + x_{4} = 8$$
$$2 x_{2} - x_{3} + 2 x_{4} = -5$$
$$x_{1} + 4 x_{2} - 7 x_{3} + 6 x_{4} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 x_{4} + 0 x_{3} + x_{1} - 3 x_{2}\\x_{4} + - 5 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2}\\2 x_{4} + - x_{3} + 0 x_{1} + 2 x_{2}\\6 x_{4} + - 7 x_{3} + x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}9\\8\\-5\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -3 & 0 & 6\\2 & 1 & -5 & 1\\0 & 2 & -1 & 2\\1 & 4 & -7 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 105$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{105} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}9 & -3 & 0 & 6\\8 & 1 & -5 & 1\\-5 & 2 & -1 & 2\\0 & 4 & -7 & 6\end{matrix}\right] \right )} = \frac{33}{35}$$
$$x_{2} = \frac{1}{105} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 9 & 0 & 6\\2 & 8 & -5 & 1\\0 & -5 & -1 & 2\\1 & 0 & -7 & 6\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{16}{5}$$
$$x_{3} = \frac{1}{105} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -3 & 9 & 6\\2 & 1 & 8 & 1\\0 & 2 & -5 & 2\\1 & 4 & 0 & 6\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{67}{35}$$
$$x_{4} = \frac{1}{105} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -3 & 0 & 9\\2 & 1 & -5 & 8\\0 & 2 & -1 & -5\\1 & 4 & -7 & 0\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{9}{35}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$6 x_{4} + x_{1} - 3 x_{2} = 9$$
$$x_{4} + - 5 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2} = 8$$
$$2 x_{4} + 2 x_{2} - x_{3} = -5$$
$$6 x_{4} + - 7 x_{3} + x_{1} + 4 x_{2} = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} - 3 x_{2} + 6 x_{4} = 9$$
$$2 x_{1} + x_{2} - 5 x_{3} + x_{4} = 8$$
$$2 x_{2} - x_{3} + 2 x_{4} = -5$$
$$x_{1} + 4 x_{2} - 7 x_{3} + 6 x_{4} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 0 & 6 & 9\\2 & 1 & -5 & 1 & 8\\0 & 2 & -1 & 2 & -5\\1 & 4 & -7 & 6 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\\0\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 0 & 6 & 9\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -5 & -11 & -10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & -5 & -11 & -10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 0 & 6 & 9\\0 & 7 & -5 & -11 & -10\\0 & 2 & -1 & 2 & -5\\1 & 4 & -7 & 6 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -7 & 0 & -9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & -7 & 0 & -9\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 0 & 6 & 9\\0 & 7 & -5 & -11 & -10\\0 & 2 & -1 & 2 & -5\\0 & 7 & -7 & 0 & -9\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\7\\2\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -7 & 0 & -9\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -3 & 6 & - \frac{27}{7} + 9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -3 & 6 & \frac{36}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -3 & 6 & \frac{36}{7}\\0 & 7 & -5 & -11 & -10\\0 & 2 & -1 & 2 & -5\\0 & 7 & -7 & 0 & -9\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & -11 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & -11 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -3 & 6 & \frac{36}{7}\\0 & 0 & 2 & -11 & -1\\0 & 2 & -1 & 2 & -5\\0 & 7 & -7 & 0 & -9\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 2 & -5 - - \frac{18}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{17}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -3 & 6 & \frac{36}{7}\\0 & 0 & 2 & -11 & -1\\0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{17}{7}\\0 & 7 & -7 & 0 & -9\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\2\\1\\-7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & -11 & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{33}{2} + 6 & - \frac{3}{2} + \frac{36}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{21}{2} & \frac{51}{14}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{21}{2} & \frac{51}{14}\\0 & 0 & 2 & -11 & -1\\0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{17}{7}\\0 & 7 & -7 & 0 & -9\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 2 - - \frac{11}{2} & - \frac{17}{7} - - \frac{1}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{15}{2} & - \frac{27}{14}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{21}{2} & \frac{51}{14}\\0 & 0 & 2 & -11 & -1\\0 & 0 & 0 & \frac{15}{2} & - \frac{27}{14}\\0 & 7 & -7 & 0 & -9\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & - \frac{77}{2} & -9 - \frac{7}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & - \frac{77}{2} & - \frac{25}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{21}{2} & \frac{51}{14}\\0 & 0 & 2 & -11 & -1\\0 & 0 & 0 & \frac{15}{2} & - \frac{27}{14}\\0 & 7 & 0 & - \frac{77}{2} & - \frac{25}{2}\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{21}{2}\\-11\\\frac{15}{2}\\- \frac{77}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{15}{2} & - \frac{27}{14}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{21}{2} - - \frac{21}{2} & - \frac{27}{10} + \frac{51}{14}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & \frac{33}{35}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & \frac{33}{35}\\0 & 0 & 2 & -11 & -1\\0 & 0 & 0 & \frac{15}{2} & - \frac{27}{14}\\0 & 7 & 0 & - \frac{77}{2} & - \frac{25}{2}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & 0 & - \frac{99}{35} - 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & 0 & - \frac{134}{35}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & \frac{33}{35}\\0 & 0 & 2 & 0 & - \frac{134}{35}\\0 & 0 & 0 & \frac{15}{2} & - \frac{27}{14}\\0 & 7 & 0 & - \frac{77}{2} & - \frac{25}{2}\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & - \frac{77}{2} - - \frac{77}{2} & - \frac{25}{2} - \frac{99}{10}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & 0 & - \frac{112}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & \frac{33}{35}\\0 & 0 & 2 & 0 & - \frac{134}{35}\\0 & 0 & 0 & \frac{15}{2} & - \frac{27}{14}\\0 & 7 & 0 & 0 & - \frac{112}{5}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{33}{35} = 0$$
$$2 x_{3} + \frac{134}{35} = 0$$
$$\frac{15 x_{4}}{2} + \frac{27}{14} = 0$$
$$7 x_{2} + \frac{112}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{33}{35}$$
$$x_{3} = - \frac{67}{35}$$
$$x_{4} = - \frac{9}{35}$$
$$x_{2} = - \frac{16}{5}$$
Численный ответ [src]
x11 = 0.9428571428571429
x21 = -3.20000000000000
x31 = -1.914285714285714
x41 = -0.2571428571428571
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: