Дана система ур-ний $$2 x - y + 3 = 0$$ $$3 x + 5 y + 11 = 0$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$2 x - y + 3 = 0$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$2 x + 3 = - -1 y$$ $$2 x + 3 = y$$ Перенесем свободное слагаемое 3 из левой части в правую со сменой знака $$2 x = y - 3$$ $$2 x = y - 3$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(y - 3\right)$$ $$x = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$3 x + 5 y + 11 = 0$$ Получим: $$5 y + 3 \left(\frac{y}{2} - \frac{3}{2}\right) + 11 = 0$$ $$\frac{13 y}{2} + \frac{13}{2} = 0$$ Перенесем свободное слагаемое 13/2 из левой части в правую со сменой знака $$\frac{13 y}{2} = - \frac{13}{2}$$ $$\frac{13 y}{2} = - \frac{13}{2}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{\frac{13}{2} y}{\frac{13}{2}} = -1$$ $$y = -1$$ Т.к. $$x = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$$ то $$x = - \frac{3}{2} + \frac{-1}{2}$$ $$x = -2$$
Ответ: $$x = -2$$ $$y = -1$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = -2$$ = $$-2$$ =
-2
$$y_{1} = -1$$ = $$-1$$ =
-1
Метод Крамера
$$2 x - y + 3 = 0$$ $$3 x + 5 y + 11 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$2 x - y = -3$$ $$3 x + 5 y = -11$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - x_{2}\\3 x_{1} + 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -1\\3 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 13$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & -1\\-11 & 5\end{matrix}\right] \right )} = -2$$ $$x_{2} = \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -3\\3 & -11\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$2 x - y + 3 = 0$$ $$3 x + 5 y + 11 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$2 x - y = -3$$ $$3 x + 5 y = -11$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -3\\3 & 5 & -11\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-3}{2} + 5 & -11 - - \frac{9}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{13}{2} & - \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -3\\0 & \frac{13}{2} & - \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{13}{2} & - \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\\0 & \frac{13}{2} & - \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$2 x_{1} + 4 = 0$$ $$\frac{13 x_{2}}{2} + \frac{13}{2} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = -2$$ $$x_{2} = -1$$