2*x-y+3=0 3*x+5*y+11=0

Вы ввели

[LaTeX]

2*x - y + 3 = 0

$$2 x - y + 3 = 0$$

3*x + 5*y + 11 = 0

$$3 x + 5 y + 11 = 0$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$2 x - y + 3 = 0$$
$$3 x + 5 y + 11 = 0$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x - y + 3 = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x + 3 = - -1 y$$
$$2 x + 3 = y$$
Перенесем свободное слагаемое 3 из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = y - 3$$
$$2 x = y - 3$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(y - 3\right)$$
$$x = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x + 5 y + 11 = 0$$
Получим:
$$5 y + 3 \left(\frac{y}{2} - \frac{3}{2}\right) + 11 = 0$$
$$\frac{13 y}{2} + \frac{13}{2} = 0$$
Перенесем свободное слагаемое 13/2 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{13 y}{2} = - \frac{13}{2}$$
$$\frac{13 y}{2} = - \frac{13}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{13}{2} y}{\frac{13}{2}} = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$$
то
$$x = - \frac{3}{2} + \frac{-1}{2}$$
$$x = -2$$

Ответ:
$$x = -2$$
$$y = -1$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

$$x_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=

-2

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

Метод Крамера

[LaTeX]

$$2 x - y + 3 = 0$$
$$3 x + 5 y + 11 = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = -3$$
$$3 x + 5 y = -11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - x_{2}\\3 x_{1} + 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -1\\3 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 13$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & -1\\-11 & 5\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -3\\3 & -11\end{matrix}\right] \right )} = -1$$

Метод Гаусса

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$2 x - y + 3 = 0$$
$$3 x + 5 y + 11 = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = -3$$
$$3 x + 5 y = -11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -3\\3 & 5 & -11\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-3}{2} + 5 & -11 - - \frac{9}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{13}{2} & - \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -3\\0 & \frac{13}{2} & - \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{13}{2} & - \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\\0 & \frac{13}{2} & - \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} + 4 = 0$$
$$\frac{13 x_{2}}{2} + \frac{13}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$

Численный ответ

[LaTeX]

x1 = -2.00000000000000
y1 = -1.00000000000000