2*x-y+3=0 3*x+5*y+11=0

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:

Примеры

Примеры

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

x + y = 5
2x - 3y = 1

Система линейных ур-ний с тремя неизвестными

2*x = 2
5*y = 10
x + y + z = 3

Система дробно-рациональных уравнений

x + y = 3
1/x + 1/y = 2/5

Система четырёх уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1
2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11

Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными

2x + 4y + 6z + 8v = 100
3x + 5y + 7z + 9v = 116
3x - 5y + 7z - 9v = -40
-2x + 4y - 6z + 8v = 36

Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь

2/x = 11
x - 3*z^2 = 0
2/7*x + y - z = -3

Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)

x = y^3
x*y = -5

Система ур-ний c квадратным корнем

x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3

Система тригонометрических ур-ний

x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1

Система показательных и логарифмических уравнений

y - log(x)/log(3) = 1
x^y = 3^12

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2*x - y + 3 = 0
$$2 x - y + 3 = 0$$
3*x + 5*y + 11 = 0
$$3 x + 5 y + 11 = 0$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 x - y + 3 = 0$$
$$3 x + 5 y + 11 = 0$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x - y + 3 = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x + 3 = - -1 y$$
$$2 x + 3 = y$$
Перенесем свободное слагаемое 3 из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = y - 3$$
$$2 x = y - 3$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(y - 3\right)$$
$$x = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x + 5 y + 11 = 0$$
Получим:
$$5 y + 3 \left(\frac{y}{2} - \frac{3}{2}\right) + 11 = 0$$
$$\frac{13 y}{2} + \frac{13}{2} = 0$$
Перенесем свободное слагаемое 13/2 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{13 y}{2} = - \frac{13}{2}$$
$$\frac{13 y}{2} = - \frac{13}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{13}{2} y}{\frac{13}{2}} = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$$
то
$$x = - \frac{3}{2} + \frac{-1}{2}$$
$$x = -2$$

Ответ:
$$x = -2$$
$$y = -1$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
-2

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=
-1
Метод Крамера
[TeX]
$$2 x - y + 3 = 0$$
$$3 x + 5 y + 11 = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = -3$$
$$3 x + 5 y = -11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - x_{2}\\3 x_{1} + 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -1\\3 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 13$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & -1\\-11 & 5\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -3\\3 & -11\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 x - y + 3 = 0$$
$$3 x + 5 y + 11 = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = -3$$
$$3 x + 5 y = -11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -3\\3 & 5 & -11\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-3}{2} + 5 & -11 - - \frac{9}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{13}{2} & - \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -3\\0 & \frac{13}{2} & - \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{13}{2} & - \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\\0 & \frac{13}{2} & - \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} + 4 = 0$$
$$\frac{13 x_{2}}{2} + \frac{13}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -2.00000000000000
y1 = -1.00000000000000