x-3*y=3 5*x-y=1

Вы ввели

x - 3*y = 3

$$x - 3 y = 3$$

5*x - y = 1

$$5 x - y = 1$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$x - 3 y = 3$$
$$5 x - y = 1$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x - 3 y = 3$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x - 3 y + 3 y = - -1 \cdot 3 y + 3$$
$$x = 3 y + 3$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x - y = 1$$
Получим:
$$- y + 5 \left(3 y + 3\right) = 1$$
$$14 y + 15 = 1$$
Перенесем свободное слагаемое 15 из левой части в правую со сменой знака
$$14 y = -14$$
$$14 y = -14$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{14 y}{14} = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = 3 y + 3$$
то
$$x = -1 \cdot 3 + 3$$
$$x = 0$$

Ответ:
$$x = 0$$
$$y = -1$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

Метод Крамера

$$x - 3 y = 3$$
$$5 x - y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 3 y = 3$$
$$5 x - y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - 3 x_{2}\\5 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -3\\5 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 14$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{14} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -3\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{14} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3\\5 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x - 3 y = 3$$
$$5 x - y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 3 y = 3$$
$$5 x - y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 3\\5 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 14 & -14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 14 & -14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 3\\0 & 14 & -14\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\14\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 14 & -14\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 14 & -14\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} = 0$$
$$14 x_{2} + 14 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$

Численный ответ

x1 = 0.0
y1 = -1.00000000000000