3*x1+4*x2=7 x1+2*x2+3*x3=6 x1-x2+x3=1

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:

Примеры

Примеры

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

x + y = 5
2x - 3y = 1

Система линейных ур-ний с тремя неизвестными

2*x = 2
5*y = 10
x + y + z = 3

Система дробно-рациональных уравнений

x + y = 3
1/x + 1/y = 2/5

Система четырёх уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1
2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11

Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными

2x + 4y + 6z + 8v = 100
3x + 5y + 7z + 9v = 116
3x - 5y + 7z - 9v = -40
-2x + 4y - 6z + 8v = 36

Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь

2/x = 11
x - 3*z^2 = 0
2/7*x + y - z = -3

Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)

x = y^3
x*y = -5

Система ур-ний c квадратным корнем

x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3

Система тригонометрических ур-ний

x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1

Система показательных и логарифмических уравнений

y - log(x)/log(3) = 1
x^y = 3^12

Решение

Вы ввели [src]
3*x1 + 4*x2 = 7
$$3 x_{1} + 4 x_{2} = 7$$
x1 + 2*x2 + 3*x3 = 6
$$3 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2} = 6$$
x1 - x2 + x3 = 1
$$x_{3} + x_{1} - x_{2} = 1$$
Быстрый ответ
$$x_{31} = 1$$
=
$$1$$
=
1

$$x_{11} = 1$$
=
$$1$$
=
1

$$x_{21} = 1$$
=
$$1$$
=
1
Метод Крамера
$$3 x_{1} + 4 x_{2} = 7$$
$$3 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2} = 6$$
$$x_{3} + x_{1} - x_{2} = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x_{1} + 4 x_{2} = 7$$
$$x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 6$$
$$x_{1} - x_{2} + x_{3} = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 x_{3} + 3 x_{1} + 4 x_{2}\\3 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\\x_{3} + x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\6\\1\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4 & 0\\1 & 2 & 3\\1 & -1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 23$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 4 & 0\\6 & 2 & 3\\1 & -1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 7 & 0\\1 & 6 & 3\\1 & 1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{3} = \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4 & 7\\1 & 2 & 6\\1 & -1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$3 x_{1} + 4 x_{2} = 7$$
$$3 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2} = 6$$
$$x_{3} + x_{1} - x_{2} = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x_{1} + 4 x_{2} = 7$$
$$x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 6$$
$$x_{1} - x_{2} + x_{3} = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 0 & 7\\1 & 2 & 3 & 6\\1 & -1 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 0 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{4}{3} + 2 & 3 & - \frac{7}{3} + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{2}{3} & 3 & \frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 0 & 7\\0 & \frac{2}{3} & 3 & \frac{11}{3}\\1 & -1 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{4}{3} - 1 & 1 & - \frac{7}{3} + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & 1 & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 0 & 7\\0 & \frac{2}{3} & 3 & \frac{11}{3}\\0 & - \frac{7}{3} & 1 & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\\frac{2}{3}\\- \frac{7}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 0 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{2} & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} & 3 & - \frac{7}{6} + \frac{11}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{1}{2} & 0 & 3 & \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 0 & 7\\- \frac{1}{2} & 0 & 3 & \frac{5}{2}\\0 & - \frac{7}{3} & 1 & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{-7}{4} & - \frac{7}{3} - - \frac{7}{3} & 1 & - \frac{4}{3} - - \frac{49}{12}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{7}{4} & 0 & 1 & \frac{11}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 0 & 7\\- \frac{1}{2} & 0 & 3 & \frac{5}{2}\\\frac{7}{4} & 0 & 1 & \frac{11}{4}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\3\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{2} & 0 & 3 & \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{-1}{6} + \frac{7}{4} & 0 & 0 & - \frac{5}{6} + \frac{11}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{23}{12} & 0 & 0 & \frac{23}{12}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 0 & 7\\- \frac{1}{2} & 0 & 3 & \frac{5}{2}\\\frac{23}{12} & 0 & 0 & \frac{23}{12}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\- \frac{1}{2}\\\frac{23}{12}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{23}{12} & 0 & 0 & \frac{23}{12}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 0 & 4\\- \frac{1}{2} & 0 & 3 & \frac{5}{2}\\\frac{23}{12} & 0 & 0 & \frac{23}{12}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{2} - - \frac{1}{2} & 0 & 3 & - \frac{-1}{2} + \frac{5}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 0 & 4\\0 & 0 & 3 & 3\\\frac{23}{12} & 0 & 0 & \frac{23}{12}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{2} - 4 = 0$$
$$3 x_{3} - 3 = 0$$
$$\frac{23 x_{1}}{12} - \frac{23}{12} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Численный ответ [src]
x11 = 1.00000000000000
x21 = 1.00000000000000
x31 = 1.00000000000000