2*x+5*y=-7 3*x-y=15

Вы ввели

2*x + 5*y = -7

$$2 x + 5 y = -7$$

3*x - y = 15

$$3 x - y = 15$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$2 x + 5 y = -7$$
$$3 x - y = 15$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + 5 y = -7$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - 5 y - 7$$
$$2 x = - 5 y - 7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- 5 y - 7\right)$$
$$x = - \frac{5 y}{2} - \frac{7}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x - y = 15$$
Получим:
$$- y + 3 \left(- \frac{5 y}{2} - \frac{7}{2}\right) = 15$$
$$- \frac{17 y}{2} - \frac{21}{2} = 15$$
Перенесем свободное слагаемое -21/2 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{17 y}{2} = \frac{51}{2}$$
$$- \frac{17 y}{2} = \frac{51}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{17}{2} y}{- \frac{17}{2}} = -3$$
$$y = -3$$
Т.к.
$$x = - \frac{5 y}{2} - \frac{7}{2}$$
то
$$x = - \frac{7}{2} - - \frac{15}{2}$$
$$x = 4$$

Ответ:
$$x = 4$$
$$y = -3$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 4$$
=
$$4$$
=

4

$$y_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=

-3

Метод Крамера

$$2 x + 5 y = -7$$
$$3 x - y = 15$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 5 y = -7$$
$$3 x - y = 15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 5 x_{2}\\3 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-7\\15\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5\\3 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -17$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{17} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-7 & 5\\15 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{2} = - \frac{1}{17} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -7\\3 & 15\end{matrix}\right] \right )} = -3$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$2 x + 5 y = -7$$
$$3 x - y = 15$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 5 y = -7$$
$$3 x - y = 15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & -7\\3 & -1 & 15\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & -7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{2} - 1 & - \frac{-21}{2} + 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & \frac{51}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & -7\\0 & - \frac{17}{2} & \frac{51}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\- \frac{17}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & \frac{51}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 8\\0 & - \frac{17}{2} & \frac{51}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 8 = 0$$
$$- \frac{17 x_{2}}{2} - \frac{51}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -3$$

Численный ответ

x1 = 4.00000000000000
y1 = -3.00000000000000