49*x1/200-x2/40-x3/50=8 -x1/40+11*x2/200-1/100=-6 -x1/50-x2/100+x3/20=0
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
49*x1 x2 x3 ----- - -- - -- = 8 200 40 50
$$- \frac{x_{3}}{50} + \frac{49 x_{1}}{200} - \frac{x_{2}}{40} = 8$$
-x1 11*x2 1 ---- + ----- - --- = -6 40 200 100
$$\frac{-1 x_{1}}{40} + \frac{11 x_{2}}{200} - \frac{1}{100} = -6$$
-x1 x2 x3 ---- - --- + -- = 0 50 100 20
$$\frac{x_{3}}{20} + \frac{-1 x_{1}}{50} - \frac{x_{2}}{100} = 0$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{31} = - \frac{13741}{1231}$$
=
$$- \frac{13741}{1231}$$
=
$$x_{11} = \frac{26629}{1231}$$
=
$$\frac{26629}{1231}$$
=
$$x_{21} = - \frac{121963}{1231}$$
=
$$- \frac{121963}{1231}$$
=
=
$$- \frac{13741}{1231}$$
=
-11.1624695369618
$$x_{11} = \frac{26629}{1231}$$
=
$$\frac{26629}{1231}$$
=
21.6320064987815
$$x_{21} = - \frac{121963}{1231}$$
=
$$- \frac{121963}{1231}$$
=
-99.0763606823721
Метод Крамера
[TeX]
$$- \frac{x_{3}}{50} + \frac{49 x_{1}}{200} - \frac{x_{2}}{40} = 8$$
$$\frac{-1 x_{1}}{40} + \frac{11 x_{2}}{200} - \frac{1}{100} = -6$$
$$\frac{x_{3}}{20} + \frac{-1 x_{1}}{50} - \frac{x_{2}}{100} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{49 x_{1}}{200} - \frac{x_{2}}{40} - \frac{x_{3}}{50} = 8$$
$$- \frac{x_{1}}{40} + \frac{11 x_{2}}{200} = - \frac{599}{100}$$
$$- \frac{x_{1}}{50} - \frac{x_{2}}{100} + \frac{x_{3}}{20} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{x_{3}}{50} + \frac{49 x_{1}}{200} - \frac{x_{2}}{40}\\0 x_{3} + - \frac{x_{1}}{40} + \frac{11 x_{2}}{200}\\\frac{x_{3}}{20} + - \frac{x_{1}}{50} - \frac{x_{2}}{100}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8\\- \frac{599}{100}\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{49}{200} & - \frac{1}{40} & - \frac{1}{50}\\- \frac{1}{40} & \frac{11}{200} & 0\\- \frac{1}{50} & - \frac{1}{100} & \frac{1}{20}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1231}{2000000}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{2000000}{1231} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & - \frac{1}{40} & - \frac{1}{50}\\- \frac{599}{100} & \frac{11}{200} & 0\\0 & - \frac{1}{100} & \frac{1}{20}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{26629}{1231}$$
$$x_{2} = \frac{2000000}{1231} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{49}{200} & 8 & - \frac{1}{50}\\- \frac{1}{40} & - \frac{599}{100} & 0\\- \frac{1}{50} & 0 & \frac{1}{20}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{121963}{1231}$$
$$x_{3} = \frac{2000000}{1231} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{49}{200} & - \frac{1}{40} & 8\\- \frac{1}{40} & \frac{11}{200} & - \frac{599}{100}\\- \frac{1}{50} & - \frac{1}{100} & 0\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{13741}{1231}$$
$$\frac{-1 x_{1}}{40} + \frac{11 x_{2}}{200} - \frac{1}{100} = -6$$
$$\frac{x_{3}}{20} + \frac{-1 x_{1}}{50} - \frac{x_{2}}{100} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{49 x_{1}}{200} - \frac{x_{2}}{40} - \frac{x_{3}}{50} = 8$$
$$- \frac{x_{1}}{40} + \frac{11 x_{2}}{200} = - \frac{599}{100}$$
$$- \frac{x_{1}}{50} - \frac{x_{2}}{100} + \frac{x_{3}}{20} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{x_{3}}{50} + \frac{49 x_{1}}{200} - \frac{x_{2}}{40}\\0 x_{3} + - \frac{x_{1}}{40} + \frac{11 x_{2}}{200}\\\frac{x_{3}}{20} + - \frac{x_{1}}{50} - \frac{x_{2}}{100}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8\\- \frac{599}{100}\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{49}{200} & - \frac{1}{40} & - \frac{1}{50}\\- \frac{1}{40} & \frac{11}{200} & 0\\- \frac{1}{50} & - \frac{1}{100} & \frac{1}{20}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1231}{2000000}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{2000000}{1231} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & - \frac{1}{40} & - \frac{1}{50}\\- \frac{599}{100} & \frac{11}{200} & 0\\0 & - \frac{1}{100} & \frac{1}{20}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{26629}{1231}$$
$$x_{2} = \frac{2000000}{1231} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{49}{200} & 8 & - \frac{1}{50}\\- \frac{1}{40} & - \frac{599}{100} & 0\\- \frac{1}{50} & 0 & \frac{1}{20}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{121963}{1231}$$
$$x_{3} = \frac{2000000}{1231} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{49}{200} & - \frac{1}{40} & 8\\- \frac{1}{40} & \frac{11}{200} & - \frac{599}{100}\\- \frac{1}{50} & - \frac{1}{100} & 0\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{13741}{1231}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- \frac{x_{3}}{50} + \frac{49 x_{1}}{200} - \frac{x_{2}}{40} = 8$$
$$\frac{-1 x_{1}}{40} + \frac{11 x_{2}}{200} - \frac{1}{100} = -6$$
$$\frac{x_{3}}{20} + \frac{-1 x_{1}}{50} - \frac{x_{2}}{100} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{49 x_{1}}{200} - \frac{x_{2}}{40} - \frac{x_{3}}{50} = 8$$
$$- \frac{x_{1}}{40} + \frac{11 x_{2}}{200} = - \frac{599}{100}$$
$$- \frac{x_{1}}{50} - \frac{x_{2}}{100} + \frac{x_{3}}{20} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{49}{200} & - \frac{1}{40} & - \frac{1}{50} & 8\\- \frac{1}{40} & \frac{11}{200} & 0 & - \frac{599}{100}\\- \frac{1}{50} & - \frac{1}{100} & \frac{1}{20} & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{49}{200}\\- \frac{1}{40}\\- \frac{1}{50}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{40} & \frac{11}{200} & 0 & - \frac{599}{100}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{49}{200} + \frac{49}{200} & - \frac{1}{40} - - \frac{539}{1000} & - \frac{1}{50} & - \frac{29351}{500} + 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500}\\- \frac{1}{40} & \frac{11}{200} & 0 & - \frac{599}{100}\\- \frac{1}{50} & - \frac{1}{100} & \frac{1}{20} & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{50} - - \frac{1}{50} & - \frac{11}{250} - \frac{1}{100} & \frac{1}{20} & - \frac{-599}{125}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{27}{500} & \frac{1}{20} & \frac{599}{125}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500}\\- \frac{1}{40} & \frac{11}{200} & 0 & - \frac{599}{100}\\0 & - \frac{27}{500} & \frac{1}{20} & \frac{599}{125}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{257}{500}\\\frac{11}{200}\\- \frac{27}{500}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{40} & - \frac{11}{200} + \frac{11}{200} & - \frac{-11}{5140} & - \frac{599}{100} - - \frac{278861}{51400}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{1}{40} & 0 & \frac{11}{5140} & - \frac{1161}{2056}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500}\\- \frac{1}{40} & 0 & \frac{11}{5140} & - \frac{1161}{2056}\\0 & - \frac{27}{500} & \frac{1}{20} & \frac{599}{125}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{27}{500} - - \frac{27}{500} & - \frac{27}{12850} + \frac{1}{20} & - \frac{684477}{128500} + \frac{599}{125}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1231}{25700} & - \frac{13741}{25700}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500}\\- \frac{1}{40} & 0 & \frac{11}{5140} & - \frac{1161}{2056}\\0 & 0 & \frac{1231}{25700} & - \frac{13741}{25700}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{50}\\\frac{11}{5140}\\\frac{1231}{25700}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1231}{25700} & - \frac{13741}{25700}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} - - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500} - \frac{13741}{61550}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & 0 & - \frac{31344491}{615500}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & 0 & - \frac{31344491}{615500}\\- \frac{1}{40} & 0 & \frac{11}{5140} & - \frac{1161}{2056}\\0 & 0 & \frac{1231}{25700} & - \frac{13741}{25700}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{40} & 0 & - \frac{11}{5140} + \frac{11}{5140} & - \frac{1161}{2056} - - \frac{151151}{6327340}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{1}{40} & 0 & 0 & - \frac{26629}{49240}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & 0 & - \frac{31344491}{615500}\\- \frac{1}{40} & 0 & 0 & - \frac{26629}{49240}\\0 & 0 & \frac{1231}{25700} & - \frac{13741}{25700}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{257 x_{2}}{500} + \frac{31344491}{615500} = 0$$
$$- \frac{x_{1}}{40} + \frac{26629}{49240} = 0$$
$$\frac{1231 x_{3}}{25700} + \frac{13741}{25700} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = - \frac{121963}{1231}$$
$$x_{1} = \frac{26629}{1231}$$
$$x_{3} = - \frac{13741}{1231}$$
$$- \frac{x_{3}}{50} + \frac{49 x_{1}}{200} - \frac{x_{2}}{40} = 8$$
$$\frac{-1 x_{1}}{40} + \frac{11 x_{2}}{200} - \frac{1}{100} = -6$$
$$\frac{x_{3}}{20} + \frac{-1 x_{1}}{50} - \frac{x_{2}}{100} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{49 x_{1}}{200} - \frac{x_{2}}{40} - \frac{x_{3}}{50} = 8$$
$$- \frac{x_{1}}{40} + \frac{11 x_{2}}{200} = - \frac{599}{100}$$
$$- \frac{x_{1}}{50} - \frac{x_{2}}{100} + \frac{x_{3}}{20} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{49}{200} & - \frac{1}{40} & - \frac{1}{50} & 8\\- \frac{1}{40} & \frac{11}{200} & 0 & - \frac{599}{100}\\- \frac{1}{50} & - \frac{1}{100} & \frac{1}{20} & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{49}{200}\\- \frac{1}{40}\\- \frac{1}{50}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{40} & \frac{11}{200} & 0 & - \frac{599}{100}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{49}{200} + \frac{49}{200} & - \frac{1}{40} - - \frac{539}{1000} & - \frac{1}{50} & - \frac{29351}{500} + 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500}\\- \frac{1}{40} & \frac{11}{200} & 0 & - \frac{599}{100}\\- \frac{1}{50} & - \frac{1}{100} & \frac{1}{20} & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{50} - - \frac{1}{50} & - \frac{11}{250} - \frac{1}{100} & \frac{1}{20} & - \frac{-599}{125}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{27}{500} & \frac{1}{20} & \frac{599}{125}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500}\\- \frac{1}{40} & \frac{11}{200} & 0 & - \frac{599}{100}\\0 & - \frac{27}{500} & \frac{1}{20} & \frac{599}{125}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{257}{500}\\\frac{11}{200}\\- \frac{27}{500}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{40} & - \frac{11}{200} + \frac{11}{200} & - \frac{-11}{5140} & - \frac{599}{100} - - \frac{278861}{51400}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{1}{40} & 0 & \frac{11}{5140} & - \frac{1161}{2056}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500}\\- \frac{1}{40} & 0 & \frac{11}{5140} & - \frac{1161}{2056}\\0 & - \frac{27}{500} & \frac{1}{20} & \frac{599}{125}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{27}{500} - - \frac{27}{500} & - \frac{27}{12850} + \frac{1}{20} & - \frac{684477}{128500} + \frac{599}{125}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1231}{25700} & - \frac{13741}{25700}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500}\\- \frac{1}{40} & 0 & \frac{11}{5140} & - \frac{1161}{2056}\\0 & 0 & \frac{1231}{25700} & - \frac{13741}{25700}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{50}\\\frac{11}{5140}\\\frac{1231}{25700}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1231}{25700} & - \frac{13741}{25700}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & - \frac{1}{50} - - \frac{1}{50} & - \frac{25351}{500} - \frac{13741}{61550}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & 0 & - \frac{31344491}{615500}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & 0 & - \frac{31344491}{615500}\\- \frac{1}{40} & 0 & \frac{11}{5140} & - \frac{1161}{2056}\\0 & 0 & \frac{1231}{25700} & - \frac{13741}{25700}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{40} & 0 & - \frac{11}{5140} + \frac{11}{5140} & - \frac{1161}{2056} - - \frac{151151}{6327340}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{1}{40} & 0 & 0 & - \frac{26629}{49240}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{257}{500} & 0 & - \frac{31344491}{615500}\\- \frac{1}{40} & 0 & 0 & - \frac{26629}{49240}\\0 & 0 & \frac{1231}{25700} & - \frac{13741}{25700}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{257 x_{2}}{500} + \frac{31344491}{615500} = 0$$
$$- \frac{x_{1}}{40} + \frac{26629}{49240} = 0$$
$$\frac{1231 x_{3}}{25700} + \frac{13741}{25700} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = - \frac{121963}{1231}$$
$$x_{1} = \frac{26629}{1231}$$
$$x_{3} = - \frac{13741}{1231}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x11 = 21.63200649878148 x21 = -99.07636068237206 x31 = -11.16246953696182