Дана система ур-ний $$5 x = 30 y$$ $$7 x - 32 y = 50$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$5 x = 30 y$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{5 x}{5} = \frac{30 y}{5}$$ $$x = 6 y$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$7 x - 32 y = 50$$ Получим: $$- 32 y + 7 \cdot 6 y = 50$$ $$10 y = 50$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{10 y}{10} = 5$$ $$y = 5$$ Т.к. $$x = 6 y$$ то $$x = 5 \cdot 6$$ $$x = 30$$
Ответ: $$x = 30$$ $$y = 5$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 30$$ = $$30$$ =
30
$$y_{1} = 5$$ = $$5$$ =
5
Метод Крамера
$$5 x = 30 y$$ $$7 x - 32 y = 50$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$5 x - 30 y = 0$$ $$7 x - 32 y = 50$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}5 x_{1} - 30 x_{2}\\7 x_{1} - 32 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\50\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -30\\7 & -32\end{matrix}\right] \right )} = 50$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{50} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & -30\\50 & -32\end{matrix}\right] \right )} = 30$$ $$x_{2} = \frac{1}{50} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 0\\7 & 50\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$5 x = 30 y$$ $$7 x - 32 y = 50$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$5 x - 30 y = 0$$ $$7 x - 32 y = 50$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}5 & -30 & 0\\7 & -32 & 50\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}5 & -30 & 0\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & 10 & 50\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 10 & 50\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}5 & -30 & 0\\0 & 10 & 50\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-30\\10\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & 10 & 50\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 150\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 150\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 150\\0 & 10 & 50\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$5 x_{1} - 150 = 0$$ $$10 x_{2} - 50 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 30$$ $$x_{2} = 5$$