3*x-y=3 x-y=1

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
3*x - y = 3
$$3 x - y = 3$$
x - y = 1
$$x - y = 1$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 x - y = 3$$
$$x - y = 1$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x - y = 3$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - -1 y + 3$$
$$3 x = y + 3$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(y + 3\right)$$
$$x = \frac{y}{3} + 1$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - y = 1$$
Получим:
$$- y + \frac{y}{3} + 1 = 1$$
$$- \frac{2 y}{3} + 1 = 1$$
Перенесем свободное слагаемое 1 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{2 y}{3} = 0$$
$$- \frac{2 y}{3} = 0$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{2}{3} y}{- \frac{2}{3}} = 0$$
$$y = 0$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{3} + 1$$
то
$$x = \frac{0}{3} + 1$$
$$x = 1$$

Ответ:
$$x = 1$$
$$y = 0$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1

$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
0
Метод Крамера
[TeX]
$$3 x - y = 3$$
$$x - y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - y = 3$$
$$x - y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} - x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 3\\1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 x - y = 3$$
$$x - y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - y = 3$$
$$x - y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 3\\1 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 - - \frac{1}{3} & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{2}{3} & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 3\\0 & - \frac{2}{3} & 0\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\- \frac{2}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{2}{3} & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\\0 & - \frac{2}{3} & 0\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 3 = 0$$
$$- \frac{2 x_{2}}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 1.00000000000000
y1 = 7.754818242684634e-26
x2 = 1.00000000000000
y2 = -1.033975765691285e-25
x3 = 1.00000000000000
y3 = 2.584939414228211e-25
x4 = 1.00000000000000
y4 = 1.033975765691285e-25
x5 = 1.00000000000000
y5 = 0.0
x6 = 1.00000000000000
y6 = -2.067951531382569e-25
x7 = 1.00000000000000
y7 = -5.169878828456423e-26
x8 = 1.00000000000000
y8 = 2.067951531382569e-25