-4*x+3*y-z=-8 2*x-y-5*z=-12 x+4*y+z=9

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:

Примеры

Примеры

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

x + y = 5
2x - 3y = 1

Система линейных ур-ний с тремя неизвестными

2*x = 2
5*y = 10
x + y + z = 3

Система дробно-рациональных уравнений

x + y = 3
1/x + 1/y = 2/5

Система четырёх уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1
2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11

Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными

2x + 4y + 6z + 8v = 100
3x + 5y + 7z + 9v = 116
3x - 5y + 7z - 9v = -40
-2x + 4y - 6z + 8v = 36

Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь

2/x = 11
x - 3*z^2 = 0
2/7*x + y - z = -3

Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)

x = y^3
x*y = -5

Система ур-ний c квадратным корнем

x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3

Система тригонометрических ур-ний

x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1

Система показательных и логарифмических уравнений

y - log(x)/log(3) = 1
x^y = 3^12

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
-4*x + 3*y - z = -8
$$- z + - 4 x + 3 y = -8$$
2*x - y - 5*z = -12
$$- 5 z + 2 x - y = -12$$
x + 4*y + z = 9
$$z + x + 4 y = 9$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
2

$$z_{1} = 3$$
=
$$3$$
=
3

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1
Метод Крамера
[TeX]
$$- z + - 4 x + 3 y = -8$$
$$- 5 z + 2 x - y = -12$$
$$z + x + 4 y = 9$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 4 x + 3 y - z = -8$$
$$2 x - y - 5 z = -12$$
$$x + 4 y + z = 9$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- x_{3} + - 4 x_{1} + 3 x_{2}\\- 5 x_{3} + 2 x_{1} - x_{2}\\x_{3} + x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-8\\-12\\9\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-4 & 3 & -1\\2 & -1 & -5\\1 & 4 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -106$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{106} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-8 & 3 & -1\\-12 & -1 & -5\\9 & 4 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{106} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-4 & -8 & -1\\2 & -12 & -5\\1 & 9 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{106} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-4 & 3 & -8\\2 & -1 & -12\\1 & 4 & 9\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- z + - 4 x + 3 y = -8$$
$$- 5 z + 2 x - y = -12$$
$$z + x + 4 y = 9$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 4 x + 3 y - z = -8$$
$$2 x - y - 5 z = -12$$
$$x + 4 y + z = 9$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-4 & 3 & -1 & -8\\2 & -1 & -5 & -12\\1 & 4 & 1 & 9\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-4\\2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-4 & 3 & -1 & -8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 - - \frac{3}{2} & -5 - \frac{1}{2} & -16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & - \frac{11}{2} & -16\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-4 & 3 & -1 & -8\\0 & \frac{1}{2} & - \frac{11}{2} & -16\\1 & 4 & 1 & 9\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-3}{4} + 4 & - \frac{1}{4} + 1 & 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{4} & \frac{3}{4} & 7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-4 & 3 & -1 & -8\\0 & \frac{1}{2} & - \frac{11}{2} & -16\\0 & \frac{19}{4} & \frac{3}{4} & 7\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\\frac{1}{2}\\\frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & - \frac{11}{2} & -16\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-4 & 0 & 32 & 88\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-4 & 0 & 32 & 88\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-4 & 0 & 32 & 88\\0 & \frac{1}{2} & - \frac{11}{2} & -16\\0 & \frac{19}{4} & \frac{3}{4} & 7\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{19}{4} + \frac{19}{4} & \frac{3}{4} - - \frac{209}{4} & 159\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 53 & 159\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-4 & 0 & 32 & 88\\0 & \frac{1}{2} & - \frac{11}{2} & -16\\0 & 0 & 53 & 159\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}32\\- \frac{11}{2}\\53\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 53 & 159\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-4 & 0 & 0 & -8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-4 & 0 & 0 & -8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-4 & 0 & 0 & -8\\0 & \frac{1}{2} & - \frac{11}{2} & -16\\0 & 0 & 53 & 159\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & - \frac{11}{2} - - \frac{11}{2} & -16 - - \frac{33}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-4 & 0 & 0 & -8\\0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 0 & 53 & 159\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 4 x_{1} + 8 = 0$$
$$\frac{x_{2}}{2} - \frac{1}{2} = 0$$
$$53 x_{3} - 159 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 3$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 2.00000000000000
y1 = 1.00000000000000
z1 = 3.00000000000000