2*x+5*y=4 9*x-2*y=-31

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
2*x + 5*y = 4
$$2 x + 5 y = 4$$
9*x - 2*y = -31
$$9 x - 2 y = -31$$
Подробное решение
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$2 x + 5 y = 4$$
$$9 x - 2 y = -31$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + 5 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - 5 y + 4$$
$$2 x = - 5 y + 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- 5 y + 4\right)$$
$$x = - \frac{5 y}{2} + 2$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$9 x - 2 y = -31$$
Получим:
$$- 2 y + 9 \left(- \frac{5 y}{2} + 2\right) = -31$$
$$- \frac{49 y}{2} + 18 = -31$$
Перенесем свободное слагаемое 18 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{49 y}{2} = -49$$
$$- \frac{49 y}{2} = -49$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{49}{2} y}{- \frac{49}{2}} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = - \frac{5 y}{2} + 2$$
то
$$x = - 5 + 2$$
$$x = -3$$

Ответ:
$$x = -3$$
$$y = 2$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$x_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=
-3

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
2
Метод Крамера
[LaTeX]
$$2 x + 5 y = 4$$
$$9 x - 2 y = -31$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 5 y = 4$$
$$9 x - 2 y = -31$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 5 x_{2}\\9 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\-31\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5\\9 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -49$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{49} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 5\\-31 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{49} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 4\\9 & -31\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$2 x + 5 y = 4$$
$$9 x - 2 y = -31$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 5 y = 4$$
$$9 x - 2 y = -31$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & 4\\9 & -2 & -31\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{45}{2} - 2 & -49\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{49}{2} & -49\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & 4\\0 & - \frac{49}{2} & -49\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\- \frac{49}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{49}{2} & -49\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & -6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -6\\0 & - \frac{49}{2} & -49\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} + 6 = 0$$
$$- \frac{49 x_{2}}{2} + 49 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
Численный ответ
[LaTeX]
x1 = -3.00000000000000
y1 = 2.00000000000000