x+2*y=3 3*x-5*y=31

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
x + 2*y = 3
$$x + 2 y = 3$$
3*x - 5*y = 31
$$3 x - 5 y = 31$$
Подробное решение
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$x + 2 y = 3$$
$$3 x - 5 y = 31$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 2 y = 3$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 2 y + 3$$
$$x = - 2 y + 3$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x - 5 y = 31$$
Получим:
$$- 5 y + 3 \left(- 2 y + 3\right) = 31$$
$$- 11 y + 9 = 31$$
Перенесем свободное слагаемое 9 из левой части в правую со сменой знака
$$- 11 y = 22$$
$$- 11 y = 22$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-11} \left(-1 \cdot 11 y\right) = -2$$
$$y = -2$$
Т.к.
$$x = - 2 y + 3$$
то
$$x = 3 - -4$$
$$x = 7$$

Ответ:
$$x = 7$$
$$y = -2$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$x_{1} = 7$$
=
$$7$$
=
7

$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
-2
Метод Крамера
[LaTeX]
$$x + 2 y = 3$$
$$3 x - 5 y = 31$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y = 3$$
$$3 x - 5 y = 31$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 2 x_{2}\\3 x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3\\31\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2\\3 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 2\\31 & -5\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
$$x_{2} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3\\3 & 31\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$x + 2 y = 3$$
$$3 x - 5 y = 31$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y = 3$$
$$3 x - 5 y = 31$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\3 & -5 & 31\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -11 & 22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -11 & 22\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\0 & -11 & 22\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -11 & 22\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 7\\0 & -11 & 22\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 7 = 0$$
$$- 11 x_{2} - 22 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -2$$
Численный ответ
[LaTeX]
x1 = 7.00000000000000
y1 = -2.00000000000000