Системы уравнений/ Любые

7*x-6*y-4*z=-54 4*x-2*y-3*z=-28 4*x+4*y+z=2

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:

Примеры

Примеры

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

x + y = 5
2x - 3y = 1

Система линейных ур-ний с тремя неизвестными

2*x = 2
5*y = 10
x + y + z = 3

Система дробно-рациональных уравнений

x + y = 3
1/x + 1/y = 2/5

Система четырёх уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1
2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11

Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными

2x + 4y + 6z + 8v = 100
3x + 5y + 7z + 9v = 116
3x - 5y + 7z - 9v = -40
-2x + 4y - 6z + 8v = 36

Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь

2/x = 11
x - 3*z^2 = 0
2/7*x + y - z = -3

Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)

x = y^3
x*y = -5

Система ур-ний c квадратным корнем

x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3

Система тригонометрических ур-ний

x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1

Система показательных и логарифмических уравнений

y - log(x)/log(3) = 1
x^y = 3^12

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
7*x - 6*y - 4*z = -54
$$- 4 z + 7 x - 6 y = -54$$ 
4*x - 2*y - 3*z = -28
$$- 3 z + 4 x - 2 y = -28$$ 
4*x + 4*y + z = 2
$$z + 4 x + 4 y = 2$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = - \frac{24}{7}$$
=
$$- \frac{24}{7}$$
=
-3.42857142857143

$$z_{1} = \frac{18}{7}$$
=
$$\frac{18}{7}$$
=
2.57142857142857

$$y_{1} = \frac{23}{7}$$
=
$$\frac{23}{7}$$
=
3.28571428571429
Метод Крамера
[TeX]
$$- 4 z + 7 x - 6 y = -54$$
$$- 3 z + 4 x - 2 y = -28$$
$$z + 4 x + 4 y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x - 6 y - 4 z = -54$$
$$4 x - 2 y - 3 z = -28$$
$$4 x + 4 y + z = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 4 x_{3} + 7 x_{1} - 6 x_{2}\\- 3 x_{3} + 4 x_{1} - 2 x_{2}\\x_{3} + 4 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-54\\-28\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -6 & -4\\4 & -2 & -3\\4 & 4 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 70$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{70} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-54 & -6 & -4\\-28 & -2 & -3\\2 & 4 & 1\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{24}{7}$$
$$x_{2} = \frac{1}{70} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -54 & -4\\4 & -28 & -3\\4 & 2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{23}{7}$$
$$x_{3} = \frac{1}{70} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -6 & -54\\4 & -2 & -28\\4 & 4 & 2\end{matrix}\right] \right )} = \frac{18}{7}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- 4 z + 7 x - 6 y = -54$$
$$- 3 z + 4 x - 2 y = -28$$
$$z + 4 x + 4 y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x - 6 y - 4 z = -54$$
$$4 x - 2 y - 3 z = -28$$
$$4 x + 4 y + z = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & -6 & -4 & -54\\4 & -2 & -3 & -28\\4 & 4 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\4\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & -6 & -4 & -54\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 - - \frac{24}{7} & -3 - - \frac{16}{7} & -28 - - \frac{216}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & -6 & -4 & -54\\0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\\4 & 4 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-24}{7} + 4 & 1 - - \frac{16}{7} & 2 - - \frac{216}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{52}{7} & \frac{23}{7} & \frac{230}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & -6 & -4 & -54\\0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\\0 & \frac{52}{7} & \frac{23}{7} & \frac{230}{7}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-6\\\frac{10}{7}\\\frac{52}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & -42\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & -42\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & -42\\0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\\0 & \frac{52}{7} & \frac{23}{7} & \frac{230}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{52}{7} + \frac{52}{7} & \frac{23}{7} - - \frac{26}{7} & - \frac{104}{7} + \frac{230}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 7 & 18\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & -42\\0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\\0 & 0 & 7 & 18\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-7\\- \frac{5}{7}\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 7 & 18\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & -24\\0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\\0 & 0 & 7 & 18\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} - - \frac{5}{7} & - \frac{-90}{49} + \frac{20}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{10}{7} & 0 & \frac{230}{49}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & -24\\0 & \frac{10}{7} & 0 & \frac{230}{49}\\0 & 0 & 7 & 18\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} + 24 = 0$$
$$\frac{10 x_{2}}{7} - \frac{230}{49} = 0$$
$$7 x_{3} - 18 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{24}{7}$$
$$x_{2} = \frac{23}{7}$$
$$x_{3} = \frac{18}{7}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -3.428571428571429
y1 = 3.285714285714286
z1 = 2.571428571428571