7*x-6*y-4*z=-54 4*x-2*y-3*z=-28 4*x+4*y+z=2

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

7*x - 6*y - 4*z = -54

$$- 4 z + 7 x - 6 y = -54$$

4*x - 2*y - 3*z = -28

$$- 3 z + 4 x - 2 y = -28$$

4*x + 4*y + z = 2

$$z + 4 x + 4 y = 2$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = - \frac{24}{7}$$
=
$$- \frac{24}{7}$$
=

-3.42857142857143

$$z_{1} = \frac{18}{7}$$
=
$$\frac{18}{7}$$
=

2.57142857142857

$$y_{1} = \frac{23}{7}$$
=
$$\frac{23}{7}$$
=

3.28571428571429

Метод Крамера

[TeX]

$$- 4 z + 7 x - 6 y = -54$$
$$- 3 z + 4 x - 2 y = -28$$
$$z + 4 x + 4 y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x - 6 y - 4 z = -54$$
$$4 x - 2 y - 3 z = -28$$
$$4 x + 4 y + z = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 4 x_{3} + 7 x_{1} - 6 x_{2}\\- 3 x_{3} + 4 x_{1} - 2 x_{2}\\x_{3} + 4 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-54\\-28\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -6 & -4\\4 & -2 & -3\\4 & 4 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 70$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{70} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-54 & -6 & -4\\-28 & -2 & -3\\2 & 4 & 1\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{24}{7}$$
$$x_{2} = \frac{1}{70} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -54 & -4\\4 & -28 & -3\\4 & 2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{23}{7}$$
$$x_{3} = \frac{1}{70} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -6 & -54\\4 & -2 & -28\\4 & 4 & 2\end{matrix}\right] \right )} = \frac{18}{7}$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$- 4 z + 7 x - 6 y = -54$$
$$- 3 z + 4 x - 2 y = -28$$
$$z + 4 x + 4 y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x - 6 y - 4 z = -54$$
$$4 x - 2 y - 3 z = -28$$
$$4 x + 4 y + z = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & -6 & -4 & -54\\4 & -2 & -3 & -28\\4 & 4 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\4\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & -6 & -4 & -54\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 - - \frac{24}{7} & -3 - - \frac{16}{7} & -28 - - \frac{216}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & -6 & -4 & -54\\0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\\4 & 4 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-24}{7} + 4 & 1 - - \frac{16}{7} & 2 - - \frac{216}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{52}{7} & \frac{23}{7} & \frac{230}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & -6 & -4 & -54\\0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\\0 & \frac{52}{7} & \frac{23}{7} & \frac{230}{7}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-6\\\frac{10}{7}\\\frac{52}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & -42\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & -42\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & -42\\0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\\0 & \frac{52}{7} & \frac{23}{7} & \frac{230}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{52}{7} + \frac{52}{7} & \frac{23}{7} - - \frac{26}{7} & - \frac{104}{7} + \frac{230}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 7 & 18\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & -42\\0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\\0 & 0 & 7 & 18\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-7\\- \frac{5}{7}\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 7 & 18\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & -24\\0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} & \frac{20}{7}\\0 & 0 & 7 & 18\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{10}{7} & - \frac{5}{7} - - \frac{5}{7} & - \frac{-90}{49} + \frac{20}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{10}{7} & 0 & \frac{230}{49}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & -24\\0 & \frac{10}{7} & 0 & \frac{230}{49}\\0 & 0 & 7 & 18\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} + 24 = 0$$
$$\frac{10 x_{2}}{7} - \frac{230}{49} = 0$$
$$7 x_{3} - 18 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{24}{7}$$
$$x_{2} = \frac{23}{7}$$
$$x_{3} = \frac{18}{7}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = -3.428571428571429
y1 = 3.285714285714286
z1 = 2.571428571428571