Дана система ур-ний $$x + y = 4$$ $$3 x + y = 28$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$x + y = 4$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$x = - y + 4$$ $$x = - y + 4$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$3 x + y = 28$$ Получим: $$y + 3 \left(- y + 4\right) = 28$$ $$- 2 y + 12 = 28$$ Перенесем свободное слагаемое 12 из левой части в правую со сменой знака $$- 2 y = 16$$ $$- 2 y = 16$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{1}{-2} \left(-1 \cdot 2 y\right) = -8$$ $$y = -8$$ Т.к. $$x = - y + 4$$ то $$x = 4 - -8$$ $$x = 12$$
Ответ: $$x = 12$$ $$y = -8$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 12$$ = $$12$$ =
12
$$y_{1} = -8$$ = $$-8$$ =
-8
Метод Крамера
$$x + y = 4$$ $$3 x + y = 28$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x + y = 4$$ $$3 x + y = 28$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\3 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1\\3 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -2$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 1\\28 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 12$$ $$x_{2} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4\\3 & 28\end{matrix}\right] \right )} = -8$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$x + y = 4$$ $$3 x + y = 28$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x + y = 4$$ $$3 x + y = 28$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 4\\3 & 1 & 28\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 4\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -2 & 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & 16\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 4\\0 & -2 & 16\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & -2 & 16\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 12\\0 & -2 & 16\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$x_{1} - 12 = 0$$ $$- 2 x_{2} - 16 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 12$$ $$x_{2} = -8$$