x+y=10 x+z=20 y+z=24 x+y+z=54

Вы ввели

[LaTeX]

x + y = 10

$$x + y = 10$$

x + z = 20

$$x + z = 20$$

y + z = 24

$$y + z = 24$$

x + y + z = 54

$$z + x + y = 54$$

Метод Гаусса

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$x + y = 10$$
$$x + z = 20$$
$$y + z = 24$$
$$z + x + y = 54$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 10$$
$$x + z = 20$$
$$y + z = 24$$
$$x + y + z = 54$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 1 & 20\\0 & 1 & 1 & 24\\1 & 1 & 1 & 54\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\0\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\0 & -1 & 1 & 10\\0 & 1 & 1 & 24\\1 & 1 & 1 & 54\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\0 & -1 & 1 & 10\\0 & 1 & 1 & 24\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-1\\1\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 20\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 20\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 1 & 20\\0 & 1 & 1 & 24\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 1 & 14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 1 & 14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 1 & 20\\-1 & 0 & 1 & 14\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\1\\1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 0 & -24\\-1 & 0 & 1 & 14\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & -30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & -30\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 0 & -24\\-1 & 0 & 0 & -30\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\-1\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 34\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 34\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 34\\1 & 0 & 0 & -24\\-1 & 0 & 0 & -30\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & -54\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & -54\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 34\\1 & 0 & 0 & -24\\0 & 0 & 0 & -54\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$

Составляем элементарные ур-ния из решенной матрицы и видим, что эта система ур-ния не имеет решений
$$x_{2} - 34 = 0$$
$$x_{1} + 24 = 0$$
$$0 + 54 = 0$$
$$x_{3} - 44 = 0$$
Получаем ответ:
Данная система ур-ний не имеет решений