x+y=10 x+z=20 y+z=24 x+y+z=54
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
x + y = 10
$$x + y = 10$$
x + z = 20
$$x + z = 20$$
y + z = 24
$$y + z = 24$$
x + y + z = 54
$$z + x + y = 54$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$x + y = 10$$
$$x + z = 20$$
$$y + z = 24$$
$$z + x + y = 54$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 10$$
$$x + z = 20$$
$$y + z = 24$$
$$x + y + z = 54$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 1 & 20\\0 & 1 & 1 & 24\\1 & 1 & 1 & 54\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\0\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\0 & -1 & 1 & 10\\0 & 1 & 1 & 24\\1 & 1 & 1 & 54\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\0 & -1 & 1 & 10\\0 & 1 & 1 & 24\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-1\\1\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 20\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 20\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 1 & 20\\0 & 1 & 1 & 24\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 1 & 14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 1 & 14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 1 & 20\\-1 & 0 & 1 & 14\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\1\\1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 0 & -24\\-1 & 0 & 1 & 14\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & -30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & -30\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 0 & -24\\-1 & 0 & 0 & -30\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\-1\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 34\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 34\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 34\\1 & 0 & 0 & -24\\-1 & 0 & 0 & -30\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & -54\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & -54\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 34\\1 & 0 & 0 & -24\\0 & 0 & 0 & -54\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Составляем элементарные ур-ния из решенной матрицы и видим, что эта система ур-ния не имеет решений
$$x_{2} - 34 = 0$$
$$x_{1} + 24 = 0$$
$$0 + 54 = 0$$
$$x_{3} - 44 = 0$$
Получаем ответ:
Данная система ур-ний не имеет решений
$$x + y = 10$$
$$x + z = 20$$
$$y + z = 24$$
$$z + x + y = 54$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 10$$
$$x + z = 20$$
$$y + z = 24$$
$$x + y + z = 54$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 1 & 20\\0 & 1 & 1 & 24\\1 & 1 & 1 & 54\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\0\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\0 & -1 & 1 & 10\\0 & 1 & 1 & 24\\1 & 1 & 1 & 54\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\0 & -1 & 1 & 10\\0 & 1 & 1 & 24\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-1\\1\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 20\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 20\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 1 & 20\\0 & 1 & 1 & 24\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 1 & 14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 1 & 14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 1 & 20\\-1 & 0 & 1 & 14\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\1\\1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 0 & -24\\-1 & 0 & 1 & 14\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & -30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & -30\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 10\\1 & 0 & 0 & -24\\-1 & 0 & 0 & -30\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\-1\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 34\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 34\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 34\\1 & 0 & 0 & -24\\-1 & 0 & 0 & -30\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & -54\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & -54\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 34\\1 & 0 & 0 & -24\\0 & 0 & 0 & -54\\0 & 0 & 1 & 44\end{matrix}\right]$$
Составляем элементарные ур-ния из решенной матрицы и видим, что эта система ур-ния не имеет решений
$$x_{2} - 34 = 0$$
$$x_{1} + 24 = 0$$
$$0 + 54 = 0$$
$$x_{3} - 44 = 0$$
Получаем ответ:
Данная система ур-ний не имеет решений