4*x1-8*x2+5*x3-x4-3*x5=1 -x1+2*x2+2*x3-6*x4+5*x5=1 -3*x1+5*x2-2*x3+4*x4-x5=0
Решение
Вы ввели
[src]
4*x1 - 8*x2 + 5*x3 - x4 - 3*x5 = 1
$$- 3 x_{5} + - x_{4} + 5 x_{3} + 4 x_{1} - 8 x_{2} = 1$$
-x1 + 2*x2 + 2*x3 - 6*x4 + 5*x5 = 1
$$5 x_{5} + - 6 x_{4} + 2 x_{3} + - x_{1} + 2 x_{2} = 1$$
-3*x1 + 5*x2 - 2*x3 + 4*x4 - x5 = 0
$$- x_{5} + 4 x_{4} + - 2 x_{3} + - 3 x_{1} + 5 x_{2} = 0$$
Быстрый ответ
$$x_{31} = \frac{25 x_{4}}{13} - \frac{17 x_{5}}{13} + \frac{5}{13}$$
=
$$\frac{25 x_{4}}{13} - \frac{17 x_{5}}{13} + \frac{5}{13}$$
=
$$x_{11} = \frac{144 x_{4}}{13} - \frac{113 x_{5}}{13} - \frac{5}{13}$$
=
$$\frac{144 x_{4}}{13} - \frac{113 x_{5}}{13} - \frac{5}{13}$$
=
$$x_{21} = \frac{86 x_{4}}{13} - \frac{72 x_{5}}{13} - \frac{1}{13}$$
=
$$\frac{86 x_{4}}{13} - \frac{72 x_{5}}{13} - \frac{1}{13}$$
=
=
$$\frac{25 x_{4}}{13} - \frac{17 x_{5}}{13} + \frac{5}{13}$$
=
0.384615384615385 + 1.92307692307692*x4 - 1.30769230769231*x5
$$x_{11} = \frac{144 x_{4}}{13} - \frac{113 x_{5}}{13} - \frac{5}{13}$$
=
$$\frac{144 x_{4}}{13} - \frac{113 x_{5}}{13} - \frac{5}{13}$$
=
-0.384615384615385 + 11.0769230769231*x4 - 8.69230769230769*x5
$$x_{21} = \frac{86 x_{4}}{13} - \frac{72 x_{5}}{13} - \frac{1}{13}$$
=
$$\frac{86 x_{4}}{13} - \frac{72 x_{5}}{13} - \frac{1}{13}$$
=
-0.0769230769230769 + 6.61538461538461*x4 - 5.53846153846154*x5
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$- 3 x_{5} + - x_{4} + 5 x_{3} + 4 x_{1} - 8 x_{2} = 1$$
$$5 x_{5} + - 6 x_{4} + 2 x_{3} + - x_{1} + 2 x_{2} = 1$$
$$- x_{5} + 4 x_{4} + - 2 x_{3} + - 3 x_{1} + 5 x_{2} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x_{1} - 8 x_{2} + 5 x_{3} - x_{4} - 3 x_{5} = 1$$
$$- x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 6 x_{4} + 5 x_{5} = 1$$
$$- 3 x_{1} + 5 x_{2} - 2 x_{3} + 4 x_{4} - x_{5} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & -8 & 5 & -1 & -3 & 1\\-1 & 2 & 2 & -6 & 5 & 1\\-3 & 5 & -2 & 4 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\-1\\-3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & -8 & 5 & -1 & -3 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{-5}{4} + 2 & -6 - \frac{1}{4} & - \frac{3}{4} + 5 & - \frac{-1}{4} + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -8 & 5 & -1 & -3 & 1\\0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\\-3 & 5 & -2 & 4 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -2 - - \frac{15}{4} & - \frac{3}{4} + 4 & - \frac{9}{4} - 1 & - \frac{-3}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{13}{4} & \frac{3}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -8 & 5 & -1 & -3 & 1\\0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\\0 & -1 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{13}{4} & \frac{3}{4}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-8\\0\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{13}{4} & \frac{3}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -9 & -27 & 23 & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & -9 & -27 & 23 & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -9 & -27 & 23 & -5\\0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\\0 & -1 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{13}{4} & \frac{3}{4}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-9\\\frac{13}{4}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & -27 - \frac{225}{13} & - \frac{-153}{13} + 23 & -5 - - \frac{45}{13}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & - \frac{576}{13} & \frac{452}{13} & - \frac{20}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & - \frac{576}{13} & \frac{452}{13} & - \frac{20}{13}\\0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\\0 & -1 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{13}{4} & \frac{3}{4}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & - \frac{7}{4} + \frac{7}{4} & \frac{13}{4} - - \frac{175}{52} & - \frac{13}{4} - \frac{119}{52} & - \frac{35}{52} + \frac{3}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & \frac{86}{13} & - \frac{72}{13} & \frac{1}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & - \frac{576}{13} & \frac{452}{13} & - \frac{20}{13}\\0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\\0 & -1 & 0 & \frac{86}{13} & - \frac{72}{13} & \frac{1}{13}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - \frac{576 x_{4}}{13} + \frac{452 x_{5}}{13} + \frac{20}{13} = 0$$
$$\frac{13 x_{3}}{4} - \frac{25 x_{4}}{4} + \frac{17 x_{5}}{4} - \frac{5}{4} = 0$$
$$- x_{2} + \frac{86 x_{4}}{13} - \frac{72 x_{5}}{13} - \frac{1}{13} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{144 x_{4}}{13} - \frac{113 x_{5}}{13} - \frac{5}{13}$$
$$x_{3} = \frac{25 x_{4}}{13} - \frac{17 x_{5}}{13} + \frac{5}{13}$$
$$x_{2} = \frac{86 x_{4}}{13} - \frac{72 x_{5}}{13} - \frac{1}{13}$$
где x4, x5 - свободные переменные
$$- 3 x_{5} + - x_{4} + 5 x_{3} + 4 x_{1} - 8 x_{2} = 1$$
$$5 x_{5} + - 6 x_{4} + 2 x_{3} + - x_{1} + 2 x_{2} = 1$$
$$- x_{5} + 4 x_{4} + - 2 x_{3} + - 3 x_{1} + 5 x_{2} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x_{1} - 8 x_{2} + 5 x_{3} - x_{4} - 3 x_{5} = 1$$
$$- x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 6 x_{4} + 5 x_{5} = 1$$
$$- 3 x_{1} + 5 x_{2} - 2 x_{3} + 4 x_{4} - x_{5} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & -8 & 5 & -1 & -3 & 1\\-1 & 2 & 2 & -6 & 5 & 1\\-3 & 5 & -2 & 4 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\-1\\-3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & -8 & 5 & -1 & -3 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{-5}{4} + 2 & -6 - \frac{1}{4} & - \frac{3}{4} + 5 & - \frac{-1}{4} + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -8 & 5 & -1 & -3 & 1\\0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\\-3 & 5 & -2 & 4 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -2 - - \frac{15}{4} & - \frac{3}{4} + 4 & - \frac{9}{4} - 1 & - \frac{-3}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{13}{4} & \frac{3}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -8 & 5 & -1 & -3 & 1\\0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\\0 & -1 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{13}{4} & \frac{3}{4}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-8\\0\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{13}{4} & \frac{3}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -9 & -27 & 23 & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & -9 & -27 & 23 & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -9 & -27 & 23 & -5\\0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\\0 & -1 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{13}{4} & \frac{3}{4}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-9\\\frac{13}{4}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & -27 - \frac{225}{13} & - \frac{-153}{13} + 23 & -5 - - \frac{45}{13}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & - \frac{576}{13} & \frac{452}{13} & - \frac{20}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & - \frac{576}{13} & \frac{452}{13} & - \frac{20}{13}\\0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\\0 & -1 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{13}{4} & \frac{3}{4}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & - \frac{7}{4} + \frac{7}{4} & \frac{13}{4} - - \frac{175}{52} & - \frac{13}{4} - \frac{119}{52} & - \frac{35}{52} + \frac{3}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & \frac{86}{13} & - \frac{72}{13} & \frac{1}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & - \frac{576}{13} & \frac{452}{13} & - \frac{20}{13}\\0 & 0 & \frac{13}{4} & - \frac{25}{4} & \frac{17}{4} & \frac{5}{4}\\0 & -1 & 0 & \frac{86}{13} & - \frac{72}{13} & \frac{1}{13}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - \frac{576 x_{4}}{13} + \frac{452 x_{5}}{13} + \frac{20}{13} = 0$$
$$\frac{13 x_{3}}{4} - \frac{25 x_{4}}{4} + \frac{17 x_{5}}{4} - \frac{5}{4} = 0$$
$$- x_{2} + \frac{86 x_{4}}{13} - \frac{72 x_{5}}{13} - \frac{1}{13} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{144 x_{4}}{13} - \frac{113 x_{5}}{13} - \frac{5}{13}$$
$$x_{3} = \frac{25 x_{4}}{13} - \frac{17 x_{5}}{13} + \frac{5}{13}$$
$$x_{2} = \frac{86 x_{4}}{13} - \frac{72 x_{5}}{13} - \frac{1}{13}$$
где x4, x5 - свободные переменные