2*x-5*y=-10 4*x-5*y=20

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:

Примеры

Примеры

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

x + y = 5
2x - 3y = 1

Система линейных ур-ний с тремя неизвестными

2*x = 2
5*y = 10
x + y + z = 3

Система дробно-рациональных уравнений

x + y = 3
1/x + 1/y = 2/5

Система четырёх уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1
2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11

Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными

2x + 4y + 6z + 8v = 100
3x + 5y + 7z + 9v = 116
3x - 5y + 7z - 9v = -40
-2x + 4y - 6z + 8v = 36

Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь

2/x = 11
x - 3*z^2 = 0
2/7*x + y - z = -3

Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)

x = y^3
x*y = -5

Система ур-ний c квадратным корнем

x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3

Система тригонометрических ур-ний

x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1

Система показательных и логарифмических уравнений

y - log(x)/log(3) = 1
x^y = 3^12

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2*x - 5*y = -10
$$2 x - 5 y = -10$$
4*x - 5*y = 20
$$4 x - 5 y = 20$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 x - 5 y = -10$$
$$4 x - 5 y = 20$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x - 5 y = -10$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x - 5 y + 5 y = - -1 \cdot 5 y - 10$$
$$2 x = 5 y - 10$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(5 y - 10\right)$$
$$x = \frac{5 y}{2} - 5$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$4 x - 5 y = 20$$
Получим:
$$- 5 y + 4 \left(\frac{5 y}{2} - 5\right) = 20$$
$$5 y - 20 = 20$$
Перенесем свободное слагаемое -20 из левой части в правую со сменой знака
$$5 y = 40$$
$$5 y = 40$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{5 y}{5} = 8$$
$$y = 8$$
Т.к.
$$x = \frac{5 y}{2} - 5$$
то
$$x = -5 + \frac{40}{2}$$
$$x = 15$$

Ответ:
$$x = 15$$
$$y = 8$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 15$$
=
$$15$$
=
15

$$y_{1} = 8$$
=
$$8$$
=
8
Метод Крамера
[TeX]
$$2 x - 5 y = -10$$
$$4 x - 5 y = 20$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - 5 y = -10$$
$$4 x - 5 y = 20$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - 5 x_{2}\\4 x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-10\\20\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -5\\4 & -5\end{matrix}\right] \right )} = 10$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{10} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-10 & -5\\20 & -5\end{matrix}\right] \right )} = 15$$
$$x_{2} = \frac{1}{10} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -10\\4 & 20\end{matrix}\right] \right )} = 8$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 x - 5 y = -10$$
$$4 x - 5 y = 20$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - 5 y = -10$$
$$4 x - 5 y = 20$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -5 & -10\\4 & -5 & 20\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -5 & -10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 5 & 40\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 5 & 40\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -5 & -10\\0 & 5 & 40\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 5 & 40\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 30\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 30\\0 & 5 & 40\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 30 = 0$$
$$5 x_{2} - 40 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 15$$
$$x_{2} = 8$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 15.0000000000000
y1 = 8.00000000000000