x+3/2-y-2/3=2 x-1/4+y+1/3=4

Вы ввели

x + 3/2 - y - 2/3 = 2

$$\left(- y + \left(x + \frac{3}{2}\right)\right) - \frac{2}{3} = 2$$

x - 1/4 + y + 1/3 = 4

$$\left(y + \left(x - \frac{1}{4}\right)\right) + \frac{1}{3} = 4$$

или

$$\begin{cases}\left(- y + \left(x + \frac{3}{2}\right)\right) - \frac{2}{3} = 2\\\left(y + \left(x - \frac{1}{4}\right)\right) + \frac{1}{3} = 4\end{cases}$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$\left(- y + \left(x + \frac{3}{2}\right)\right) - \frac{2}{3} = 2$$
$$\left(y + \left(x - \frac{1}{4}\right)\right) + \frac{1}{3} = 4$$

Из 1-го ур-ния выразим y
$$\left(- y + \left(x + \frac{3}{2}\right)\right) - \frac{2}{3} = 2$$
Перенесем слагаемое с переменной x из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{5}{6} - y = 2 - x$$
$$\frac{5}{6} - y = 2 - x$$
Перенесем свободное слагаемое 5/6 из левой части в правую со сменой знака
$$- y = \left(2 - x\right) - \frac{5}{6}$$
$$- y = \frac{7}{6} - x$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\left(-1\right) y}{-1} = \frac{\frac{7}{6} - x}{-1}$$
$$y = x - \frac{7}{6}$$
Подставим найденное y в 2-е ур-ние
$$\left(y + \left(x - \frac{1}{4}\right)\right) + \frac{1}{3} = 4$$
Получим:
$$\left(\left(x - \frac{7}{6}\right) + \left(x - \frac{1}{4}\right)\right) + \frac{1}{3} = 4$$
$$2 x - \frac{13}{12} = 4$$
Перенесем свободное слагаемое -13/12 из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = \frac{13}{12} + 4$$
$$2 x = \frac{61}{12}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{61}{2 \cdot 12}$$
$$x = \frac{61}{24}$$
Т.к.
$$y = x - \frac{7}{6}$$
то
$$y = - \frac{7}{6} + \frac{61}{24}$$
$$y = \frac{11}{8}$$

Ответ:
$$y = \frac{11}{8}$$
$$x = \frac{61}{24}$$

График

График неявной функции -y + x + 3/2 - 2/3 = 2
График неявной функции y + x - 1/4 + 1/3 = 4

Быстрый ответ

$$x_{1} = \frac{61}{24}$$
=
$$\frac{61}{24}$$
=

2.54166666666667

$$y_{1} = \frac{11}{8}$$
=
$$\frac{11}{8}$$
=

1.375

Метод Крамера

$$\left(- y + \left(x + \frac{3}{2}\right)\right) - \frac{2}{3} = 2$$
$$\left(y + \left(x - \frac{1}{4}\right)\right) + \frac{1}{3} = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - y = \frac{7}{6}$$
$$x + y = \frac{47}{12}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{7}{6}\\\frac{47}{12}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -1\\1 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}\frac{7}{6} & -1\\\frac{47}{12} & 1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{61}{24}$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & \frac{7}{6}\\1 & \frac{47}{12}\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{11}{8}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$\left(- y + \left(x + \frac{3}{2}\right)\right) - \frac{2}{3} = 2$$
$$\left(y + \left(x - \frac{1}{4}\right)\right) + \frac{1}{3} = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - y = \frac{7}{6}$$
$$x + y = \frac{47}{12}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & \frac{7}{6}\\1 & 1 & \frac{47}{12}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & \frac{7}{6}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & 1 - -1 & \frac{\left(-1\right) 7}{6} + \frac{47}{12}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & \frac{11}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & \frac{7}{6}\\0 & 2 & \frac{11}{4}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & \frac{11}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & -1 - \frac{\left(-1\right) 2}{2} & \frac{7}{6} - \frac{\left(-1\right) 11}{2 \cdot 4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{61}{24}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{61}{24}\\0 & 2 & \frac{11}{4}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{61}{24} = 0$$
$$2 x_{2} - \frac{11}{4} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{61}{24}$$
$$x_{2} = \frac{11}{8}$$

Численный ответ

y1 = 1.375
x1 = 2.541666666666667

График