x+y-z=2 2*x-y+z=1 x+3*y+3*z=4

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
x + y - z = 2
$$- z + x + y = 2$$
2*x - y + z = 1
$$z + 2 x - y = 1$$
x + 3*y + 3*z = 4
$$3 z + x + 3 y = 4$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1

$$z_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
0

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1
Метод Крамера
[TeX]
$$- z + x + y = 2$$
$$z + 2 x - y = 1$$
$$3 z + x + 3 y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y - z = 2$$
$$2 x - y + z = 1$$
$$x + 3 y + 3 z = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- x_{3} + x_{1} + x_{2}\\x_{3} + 2 x_{1} - x_{2}\\3 x_{3} + x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\1\\4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 1\\1 & 3 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -18$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{18} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1 & -1\\1 & -1 & 1\\4 & 3 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{18} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & -1\\2 & 1 & 1\\1 & 4 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{18} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2\\2 & -1 & 1\\1 & 3 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- z + x + y = 2$$
$$z + 2 x - y = 1$$
$$3 z + x + 3 y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y - z = 2$$
$$2 x - y + z = 1$$
$$x + 3 y + 3 z = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 2\\2 & -1 & 1 & 1\\1 & 3 & 3 & 4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & 3 & -3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & 3 & -3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 2\\0 & -3 & 3 & -3\\1 & 3 & 3 & 4\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 4 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 4 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 2\\0 & -3 & 3 & -3\\0 & 2 & 4 & 2\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & 3 & -3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & -3 & 3 & -3\\0 & 2 & 4 & 2\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 6 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 6 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & -3 & 3 & -3\\0 & 0 & 6 & 0\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\3\\6\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 6 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & 0 & -3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & 0 & -3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & -3 & 0 & -3\\0 & 0 & 6 & 0\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 1 = 0$$
$$- 3 x_{2} + 3 = 0$$
$$6 x_{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 0$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 1.00000000000000
y1 = 1.00000000000000
z1 = -1.033975765691285e-25
x2 = 1.00000000000000
y2 = 1.00000000000000
z2 = -2.067951531382569e-25
x3 = 1.00000000000000
y3 = 1.00000000000000
z3 = 0.0