3*x-y=-25 2*y-x=35

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

3*x - y = -25

$$3 x - y = -25$$

2*y - x = 35

$$- x + 2 y = 35$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$3 x - y = -25$$
$$- x + 2 y = 35$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x - y = -25$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - -1 y - 25$$
$$3 x = y - 25$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(y - 25\right)$$
$$x = \frac{y}{3} - \frac{25}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- x + 2 y = 35$$
Получим:
$$2 y - \frac{y}{3} - \frac{25}{3} = 35$$
$$\frac{5 y}{3} + \frac{25}{3} = 35$$
Перенесем свободное слагаемое 25/3 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{5 y}{3} = \frac{80}{3}$$
$$\frac{5 y}{3} = \frac{80}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{5}{3} y}{\frac{5}{3}} = 16$$
$$y = 16$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{3} - \frac{25}{3}$$
то
$$x = - \frac{25}{3} + \frac{16}{3}$$
$$x = -3$$

Ответ:
$$x = -3$$
$$y = 16$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=

-3

$$y_{1} = 16$$
=
$$16$$
=

16

Метод Крамера

[TeX]

$$3 x - y = -25$$
$$- x + 2 y = 35$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - y = -25$$
$$- x + 2 y = 35$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} - x_{2}\\- x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-25\\35\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1\\-1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-25 & -1\\35 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
$$x_{2} = \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -25\\-1 & 35\end{matrix}\right] \right )} = 16$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$3 x - y = -25$$
$$- x + 2 y = 35$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - y = -25$$
$$- x + 2 y = 35$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & -25\\-1 & 2 & 35\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & -25\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{3} + 2 & - \frac{25}{3} + 35\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & \frac{80}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & -25\\0 & \frac{5}{3} & \frac{80}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & \frac{80}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & -9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & -9\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & -9\\0 & \frac{5}{3} & \frac{80}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} + 9 = 0$$
$$\frac{5 x_{2}}{3} - \frac{80}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 16$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = -3.00000000000000
y1 = 16.0000000000000