i1-i2-i3=0 i3+3/5-i4=0 i6+i4-i1=0 25*i6=100 60*i3+60*i4=124

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:
54 уравнение:
55 уравнение:

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
i1 - i2 - i3 = 0
$$- i_{3} + i_{1} - i_{2} = 0$$
i3 + 3/5 - i4 = 0
$$- i_{4} + i_{3} + \frac{3}{5} = 0$$
i6 + i4 - i1 = 0
$$- i_{1} + i_{4} + i_{6} = 0$$
25*i6 = 100
$$25 i_{6} = 100$$
60*i3 + 60*i4 = 124
$$60 i_{3} + 60 i_{4} = 124$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$i_{31} = \frac{11}{15}$$
=
$$\frac{11}{15}$$
=
0.733333333333333

$$i_{61} = 4$$
=
$$4$$
=
4

$$i_{21} = \frac{23}{5}$$
=
$$\frac{23}{5}$$
=
4.6

$$i_{11} = \frac{16}{3}$$
=
$$\frac{16}{3}$$
=
5.33333333333333

$$i_{41} = \frac{4}{3}$$
=
$$\frac{4}{3}$$
=
1.33333333333333
Метод Крамера
[LaTeX]
$$- i_{3} + i_{1} - i_{2} = 0$$
$$- i_{4} + i_{3} + \frac{3}{5} = 0$$
$$- i_{1} + i_{4} + i_{6} = 0$$
$$25 i_{6} = 100$$
$$60 i_{3} + 60 i_{4} = 124$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$i_{1} - i_{2} - i_{3} = 0$$
$$i_{3} - i_{4} = - \frac{3}{5}$$
$$- i_{1} + i_{4} + i_{6} = 0$$
$$25 i_{6} = 100$$
$$60 i_{3} + 60 i_{4} = 124$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 x_{5} + 0 x_{4} + - x_{3} + x_{1} - x_{2}\\0 x_{5} + - x_{4} + x_{3} + 0 x_{1} + 0 x_{2}\\x_{5} + x_{4} + 0 x_{3} + - x_{1} + 0 x_{2}\\25 x_{5} + 0 x_{4} + 0 x_{3} + 0 x_{1} + 0 x_{2}\\0 x_{5} + 60 x_{4} + 60 x_{3} + 0 x_{1} + 0 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\- \frac{3}{5}\\0\\100\\124\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 25\\0 & 0 & 60 & 60 & 0\end{matrix}\right] \right )} = -3000$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{3000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & 0 & 0\\- \frac{3}{5} & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 1\\100 & 0 & 0 & 0 & 25\\124 & 0 & 60 & 60 & 0\end{matrix}\right] \right )} = \frac{16}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & - \frac{3}{5} & 1 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 100 & 0 & 0 & 25\\0 & 124 & 60 & 60 & 0\end{matrix}\right] \right )} = \frac{23}{5}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{3000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{3}{5} & -1 & 0\\-1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 100 & 0 & 25\\0 & 0 & 124 & 60 & 0\end{matrix}\right] \right )} = \frac{11}{15}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{3000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & - \frac{3}{5} & 0\\-1 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 100 & 25\\0 & 0 & 60 & 124 & 0\end{matrix}\right] \right )} = \frac{4}{3}$$
$$x_{5} = - \frac{1}{3000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -1 & - \frac{3}{5}\\-1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 100\\0 & 0 & 60 & 60 & 124\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$- i_{3} + i_{1} - i_{2} = 0$$
$$- i_{4} + i_{3} + \frac{3}{5} = 0$$
$$- i_{1} + i_{4} + i_{6} = 0$$
$$25 i_{6} = 100$$
$$60 i_{3} + 60 i_{4} = 124$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$i_{1} - i_{2} - i_{3} = 0$$
$$i_{3} - i_{4} = - \frac{3}{5}$$
$$- i_{1} + i_{4} + i_{6} = 0$$
$$25 i_{6} = 100$$
$$60 i_{3} + 60 i_{4} = 124$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -1 & 0 & - \frac{3}{5}\\-1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 100\\0 & 0 & 60 & 60 & 0 & 124\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\0\\-1\\0\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -1 & 0 & - \frac{3}{5}\\0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 100\\0 & 0 & 60 & 60 & 0 & 124\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\0\\-1\\0\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -1 & 0 & - \frac{3}{5}\\-1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 100\\0 & 0 & 60 & 60 & 0 & 124\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\1\\0\\0\\60\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & -1 & 0 & - \frac{3}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & -1 & 0 & - \frac{3}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & -1 & 0 & - \frac{3}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & -1 & 0 & - \frac{3}{5}\\0 & 0 & 1 & -1 & 0 & - \frac{3}{5}\\-1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 100\\0 & 0 & 60 & 60 & 0 & 124\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 120 & 0 & 160\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 120 & 0 & 160\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & -1 & 0 & - \frac{3}{5}\\0 & 0 & 1 & -1 & 0 & - \frac{3}{5}\\-1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 100\\0 & 0 & 0 & 120 & 0 & 160\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\-1\\1\\0\\120\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
5 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 5 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 120 & 0 & 160\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{3}{5} - - \frac{4}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 0 & 0 & \frac{11}{15}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 0 & 0 & \frac{11}{15}\\0 & 0 & 1 & -1 & 0 & - \frac{3}{5}\\-1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 100\\0 & 0 & 0 & 120 & 0 & 160\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{5} - - \frac{4}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{11}{15}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 0 & 0 & \frac{11}{15}\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{11}{15}\\-1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 100\\0 & 0 & 0 & 120 & 0 & 160\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 0 & 0 & \frac{11}{15}\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{11}{15}\\-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{4}{3}\\0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 100\\0 & 0 & 0 & 120 & 0 & 160\end{matrix}\right]$$
В 5 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\0\\1\\25\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 100\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{16}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{16}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 0 & 0 & \frac{11}{15}\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{11}{15}\\-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{16}{3}\\0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 100\\0 & 0 & 0 & 120 & 0 & 160\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\0\\-1\\0\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{16}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{16}{3} + \frac{11}{15}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{23}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{23}{5}\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{11}{15}\\-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{16}{3}\\0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 100\\0 & 0 & 0 & 120 & 0 & 160\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- x_{2} + \frac{23}{5} = 0$$
$$x_{3} - \frac{11}{15} = 0$$
$$- x_{1} + \frac{16}{3} = 0$$
$$25 x_{5} - 100 = 0$$
$$120 x_{4} - 160 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = \frac{23}{5}$$
$$x_{3} = \frac{11}{15}$$
$$x_{1} = \frac{16}{3}$$
$$x_{5} = 4$$
$$x_{4} = \frac{4}{3}$$
Численный ответ
[LaTeX]
i11 = 5.333333333333333
i21 = 4.60000000000000
i31 = 0.7333333333333333
i41 = 1.333333333333333
i61 = 4.00000000000000