Дана система ур-ний $$y = - x + 7$$ $$10 x - 6 y = 22$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$y = - x + 7$$ Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака $$- -1 x + y = 7$$ $$x + y = 7$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$x = - y + 7$$ $$x = - y + 7$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$10 x - 6 y = 22$$ Получим: $$- 6 y + 10 \left(- y + 7\right) = 22$$ $$- 16 y + 70 = 22$$ Перенесем свободное слагаемое 70 из левой части в правую со сменой знака $$- 16 y = -48$$ $$- 16 y = -48$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{1}{-16} \left(-1 \cdot 16 y\right) = 3$$ $$y = 3$$ Т.к. $$x = - y + 7$$ то $$x = - 3 + 7$$ $$x = 4$$
Ответ: $$x = 4$$ $$y = 3$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 4$$ = $$4$$ =
4
$$y_{1} = 3$$ = $$3$$ =
3
Метод Крамера
$$y = - x + 7$$ $$10 x - 6 y = 22$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x + y = 7$$ $$10 x - 6 y = 22$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\10 x_{1} - 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\22\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1\\10 & -6\end{matrix}\right] \right )} = -16$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 1\\22 & -6\end{matrix}\right] \right )} = 4$$ $$x_{2} = - \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 7\\10 & 22\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$y = - x + 7$$ $$10 x - 6 y = 22$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x + y = 7$$ $$10 x - 6 y = 22$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 7\\10 & -6 & 22\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -16 & -48\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -16 & -48\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 7\\0 & -16 & -48\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\-16\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & -16 & -48\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 4\\0 & -16 & -48\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$x_{1} - 4 = 0$$ $$- 16 x_{2} + 48 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 4$$ $$x_{2} = 3$$