4*(x-y)=-2 3*x+2*y=5-2*(x+y)

Вы ввели

4*(x - y) = -2

$$4 \left(x - y\right) = -2$$

3*x + 2*y = 5 - 2*(x + y)

$$3 x + 2 y = - 2 x + 2 y + 5$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$4 \left(x - y\right) = -2$$
$$3 x + 2 y = - 2 x + 2 y + 5$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$4 \left(x - y\right) = -2$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x = - -1 \cdot 4 x - 4 x - 4 y - 2$$
$$4 x = 4 y - 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(4 y - 2\right)$$
$$x = y - \frac{1}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x + 2 y = - 2 x + 2 y + 5$$
Получим:
$$2 y + 3 \left(y - \frac{1}{2}\right) = - 4 y - 1 + 5$$
$$5 y - \frac{3}{2} = - 4 y + 6$$
Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака
$$- -1 \cdot 4 y + 5 y - \frac{3}{2} = 6$$
$$9 y - \frac{3}{2} = 6$$
Перенесем свободное слагаемое -3/2 из левой части в правую со сменой знака
$$9 y = \frac{15}{2}$$
$$9 y = \frac{15}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{9 y}{9} = \frac{5}{6}$$
$$y = \frac{5}{6}$$
Т.к.
$$x = y - \frac{1}{2}$$
то
$$x = - \frac{1}{2} + \frac{5}{6}$$
$$x = \frac{1}{3}$$

Ответ:
$$x = \frac{1}{3}$$
$$y = \frac{5}{6}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{1}{3}$$
=

0.333333333333333

$$y_{1} = \frac{5}{6}$$
=
$$\frac{5}{6}$$
=

0.833333333333333

Метод Крамера

$$4 \left(x - y\right) = -2$$
$$3 x + 2 y = - 2 x + 2 y + 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 4 y = -2$$
$$5 x + 4 y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - 4 x_{2}\\5 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -4\\5 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 36$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{36} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-2 & -4\\5 & 4\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{36} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -2\\5 & 5\end{matrix}\right] \right )} = \frac{5}{6}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$4 \left(x - y\right) = -2$$
$$3 x + 2 y = - 2 x + 2 y + 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 4 y = -2$$
$$5 x + 4 y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & -4 & -2\\5 & 4 & 5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & -4 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 9 & - \frac{-5}{2} + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 9 & \frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -4 & -2\\0 & 9 & \frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 9 & \frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -2 - - \frac{10}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & \frac{4}{3}\\0 & 9 & \frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - \frac{4}{3} = 0$$
$$9 x_{2} - \frac{15}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5}{6}$$

Численный ответ

x1 = 0.3333333333333333
y1 = 0.8333333333333333